Sulgude avamine ja tegurdamine

Muuda avaldist sulgudes ja jälgi ristkülikut. Neli osa vastavad neljale liikmele. Tegurdamisele lülitudes esitad lihtsalt sama küsimuse teisipidi.

Kaks sulgu	$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$
Kaksliikme ruut	$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$
Ruutude vahe	$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
Täisarvulised sulud leiduvad, kui	$b^{2}-4ac=n^{2},\quad n\in\mathbb{Z}$

Näidisarvutus — Sulgude avamine ja tegurdamine

Diskriminant	1 (1²)

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Sulgude avamine ja tegurdamine

Sulgude avamine tähendab sulgude lahtikorrutamist liikmete summaks. Tegurdamine on tee tagasi: summa esitamine võimalusel täisarvuliste kordajatega sulgude korrutisena.

Kust valem tuleb

Korruta iga liige iga liikmega. Kaks kaheliikmelist sulgu annavad kokku neli korrutist ehk ristküliku neli tükki.
$(px+q)(rx+s)=prx^{2}+psx+qrx+qs$
Koonda sarnased liigmed. Mõlemad ribad sisaldavad muutujat x, seega liituvad need üheks keskmiseks liikmeks; just sellest summast tuleb keskmise liikme kordaja.
$prx^{2}+(ps+qr)x+qs$
Tegurdamine algab ühistegurist. Too kordajate a, b ja c suurim ühistegur sulgude ette koos kordaja a märgiga, et sulgudesse jääv kolmliige algaks positiivse x²-liikmega.
$3x^{2}-12x-36=3(x^{2}-4x-12)$
Leia sulud. Avaldise x² + bx + c puhul otsi kahte arvu, mille korrutis on c ja summa b. Kui a ei ole 1, leia kaks arvu, mille korrutis on ac ja summa b, jaota keskmine liige nende abil kaheks ning tegurda paarikaupa.
$\begin{aligned}&(-6)(2)=-12,\ \ -6+2=-4\\&x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)\\[4pt]&6x^{2}+5x-4=6x^{2}+8x-3x-4\\&=2x(3x+4)-(3x+4)\\&=(2x-1)(3x+4)\end{aligned}$
Kontrolli enne otsimist. Täisarvuliste kordajatega sulud leiduvad parajasti siis, kui b² − 4ac on täisruut. Kui see nii pole, ei anna ükski otsing tulemust.
$\begin{aligned}&ax^{2}+bx+c=(px+q)(rx+s),\ \ p,q,r,s\in\mathbb{Z}\\&\iff b^{2}-4ac=n^{2},\ \ n\in\mathbb{Z}\end{aligned}$

Ülesanded täielikult lahendatud

Kaks sulgu miinusmärgiga 2 sammu
Ava sulud: (2x − 1)(3x + 4).

Ava see ülesanne tööriistas
1. Korruta esimese sulu iga liige teise sulu iga liikmega. Arv −1 säilitab oma märgi mõlemas korrutises.
  
  $\begin{aligned}&(2x)(3x)+(2x)(4)+(-1)(3x)+(-1)(4)\\&=6x^{2}+8x-3x-4\end{aligned}$
2. Mõlemad keskmised korrutised on x-i kordsed, seega koonduvad need üheks liikmeks.
  
  $6x^{2}+(8-3)x-4=6x^{2}+5x-4$
Vastus

6x² + 5x − 4.

$(2x-1)(3x+4)=6x^{2}+5x-4$
Kaksliikme ruut 4 sammu
Ava sulud (2x − 3)². Seejärel selgita, kuidas tunda ära, et 4x² − 12x + 9 on täisruut, kui kohtad seda esimesena.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ruut tähendab sulu korrutamist iseendaga, seega tekib siin nagu igas teiseski korrutises keskmine liige: kahe liikme kahekordne korrutis.
  
  $\begin{aligned}(2x-3)^{2}&=(2x)^{2}+2(2x)(-3)+(-3)^{2}\\&=4x^{2}-12x+9\end{aligned}$
2. Kõige tavalisem viga on selle keskmise liikme ärajätmine. Piisab ühest x-i väärtusest, et eksimus kohe paljastada.
  
  $(2x-3)^{2}\ne4x^{2}+9:\qquad x=1:\ (2-3)^{2}=1,\quad4+9=13$
3. Tagurpidi vaadates on esimene ja viimane liige ruudud ning keskmine liige nende ruutjuurte kahekordne korrutis koos märgiga: siin −12x = −2(2x)(3), mistõttu tuleb sulgu miinus.
  
  $4x^{2}=(2x)^{2},\quad9=3^{2},\quad12x=2(2x)(3)$
4. Diskriminant annab sama vastuse igasuguse oletamiseta. See on 0, mis tähendab, et kaks juurt langevad kokku ja mõlemad sulud on ühesugused.
  
  $b^{2}-4ac=(-12)^{2}-4(4)(9)=144-144=0$
Vastus

4x² − 12x + 9 = (2x − 3)². See ei ole 4x² + 9: kui x = 1, on ruut 1, ent 4x² + 9 annab tulemuseks 13.

$(2x-3)^{2}=4x^{2}-12x+9$
Kolm sulgu 4 sammu
Ava sulud: (x + 2)(x − 1)(2x + 3).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Korruta esmalt omavahel kaks sulgu. Just selle sammu teeb ära ka siinne tööriist.
  
  $(x+2)(x-1)=x^{2}-x+2x-2=x^{2}+x-2$
2. Seejärel korruta saadud kolmliige kolmanda suluga: selle kõik kolm liiget avaldise 2x + 3 mõlema liikmega, mis annab kokku kuus korrutist.
  
  $\begin{aligned}&(x^{2}+x-2)(2x+3)\\&=2x^{3}+3x^{2}+2x^{2}+3x-4x-6\end{aligned}$
3. Koonda: 3x² ja 2x² annavad kokku 5x² ning 3x ja −4x annavad −x.
  
  $=2x^{3}+5x^{2}-x-6$
4. Kontrolli tulemust väärtusega, mis teeb arvutamise lihtsaks. Kui x = 1, on keskmine sulg 0, seega kogu korrutis on 0 ja ka avatud avaldis peab andma 0.
  
  $x=1:\quad(3)(0)(5)=0,\qquad2+5-1-6=0$
Vastus

2x³ + 5x² − x − 6.

$(x+2)(x-1)(2x+3)=2x^{3}+5x^{2}-x-6$
Tegurdamine, kui a = 1 4 sammu
Tegurda x² − 2x − 15.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Sulgude (x + m)(x + n) avamine näitab kätte sihi: otsime kahte arvu, mille korrutis on −15 ja summa −2.
  
  $\begin{aligned}&(x+m)(x+n)=x^{2}+(m+n)x+mn\\&mn=-15,\quad m+n=-2\end{aligned}$
2. Vaata läbi arvu −15 teguripaarid. Korrutis on negatiivne, seega on need kaks arvu erimärgilised.
  
  $\begin{aligned}-15&=1\times(-15)=(-1)\times15\\&=3\times(-5)=(-3)\times5\end{aligned}$
3. Ainult 3 ja −5 summa on −2.
  
  $m=-5,\ n=3:\qquad(-5)(3)=-15,\quad-5+3=-2$
4. Korruta kontrolliks läbi.
  
  $(x-5)(x+3)=x^{2}+3x-5x-15=x^{2}-2x-15$
Vastus

(x − 5)(x + 3).

$x^{2}-2x-15=(x-5)(x+3)$
6x² + 5x − 4 tegurdamine, et öelda, kas see toimib 7 sammu
Tegurda 6x² + 5x − 4 ja ütle juba ette, kas see üldse õnnestub.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Arvuta kõigepealt diskriminant. See võtab vaid ühe rea ja näitab kohe, kas üldse on midagi leida.
  
  $b^2 - 4ac = 5^2 - 4(6)(-4) = 25 + 96 = 121$
2. Sada kakskümmend üks on 11², seega leidub tegurdus täisarvude hulgas. Nüüd on otsingul mõtet.
  
  $121 = 11^2$
3. Juured leitakse samast arvust. Kuna diskriminant on täisruut, on need ratsionaalarvulised.
  
  $x = \frac{-5 \pm 11}{12} = \tfrac{1}{2}, \; -\tfrac{4}{3}$
4. Juur 1/2 tähendab tegurit (2x − 1). Juur −4/3 tähendab tegurit (3x + 4). Nimetajatest vabanemine ongi see samm, mis muudab juure sulgavaldiseks.
  
  $(2x - 1)(3x + 4)$
5. Korruta alati kontrolliks tagasi. Kaks keskmist riba on 8x ja −3x, mis annavad kokku täpselt selle 5x, mida küsiti.
  
  $6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4 \;\checkmark$
6. Asenda nüüd vabaliige arvuga −5 ja korda esimest sammu. Diskriminandiks saad 25 + 120 = 145, mis ei ole täisruut. Seega pole täisarvuliste külgedega ristkülikut ega mõtet seda otsida.
  
  $5^2 - 4(6)(-5) = 25 + 120 = 145 \;\neq\; k^2$
7. Siinkohal tööriist peatub ja paljastub oluline erisus. 6x² + 5x − 5 tegurdub reaalarvude hulgas suurepäraselt, andes sulud, mis sisaldavad arvu √145. "Ei tegurdu" tähendab alati "ei tegurdu nende arvude hulgas, milles me kokku leppisime". Tavaliselt jäetakse see kokkulepe aga lihtsalt välja ütlemata.
  
  $6x^2 + 5x - 5 = 6\left(x - \tfrac{-5 + \sqrt{145}}{12}\right)\left(x - \tfrac{-5 - \sqrt{145}}{12}\right)$
Vastus

(2x − 1)(3x + 4). Diskriminant 121 = 11² ütles seda meile juba enne otsimise algust. Muuda −4 arvuks −5 ja diskriminant saab väärtuseks 145, mis ei ole täisruut. Sama ruutkolmliige ei tegurdu enam täisarvude hulgas, jäädes samal ajal reaalarvude hulgas endiselt kenasti tegurdatavaks.
Esmalt ühistegur 4 sammu
Tegurda 3x² − 12x − 36 täielikult.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kõik kolm kordajat jaguvad 3-ga, seega toome selle esmalt sulgude ette.
  
  $3x^{2}-12x-36=3(x^{2}-4x-12)$
2. Sulgudes on a = 1 ning kaks arvu, mille korrutis on −12 ja summa −4, on −6 ja 2.
  
  $mn=-12,\quad m+n=-4:\qquad m=-6,\ n=2$
3. Kirjuta 3 uuesti sulgude ette.
  
  $3x^{2}-12x-36=3(x-6)(x+2)$
4. Sulud (3x − 18)(x + 2) annavad lahti korrutades küll sama kolmliikme, kuid esimesest sulust saab endiselt teguri 3 välja tuua. Selline tegurdus pole täielik ja eksamil võetakse selle eest punkte maha.
  
  $(3x-18)(x+2)=3(x-6)(x+2)$
Vastus

3(x − 6)(x + 2).

$3x^{2}-12x-36=3(x-6)(x+2)$
Negatiivne ruutliige 4 sammu
Tegurda 12 + 4x − x².

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kirjuta avaldis astmete kahanemise järjekorras ja too −1 sulgude ette, et sulgudes olev x²-liige oleks positiivne.
  
  $12+4x-x^{2}=-(x^{2}-4x-12)$
2. Sulgudes on korrutis −12 ja summa −4, seega otsitavad arvud on −6 ja 2.
  
  $x^{2}-4x-12=(x-6)(x+2)$
3. Miinusmärgi võib viia ka esimese sulu sisse, nagu tehakse enamikus hindamisjuhendites.
  
  $-(x-6)(x+2)=(6-x)(x+2)$
4. Kontrolli väärtusega x = 0: esialgne avaldis annab 12 ja (6)(2) on samuti 12.
  
  $x=0:\quad(6)(2)=12$
Vastus

−(x − 6)(x + 2), mis on sama mis (6 − x)(x + 2).

$12+4x-x^{2}=(6-x)(x+2)$
Ruutude vahe ja arv 8051 7 sammu
Ava sulud avaldises (x − 5)(x + 5) ja ütle, miks keskliige kaob. Korruta seejärel peast 95 × 105 ja otsusta, kas sama pilt suudab lahti võtta ka pelga arvu.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Ristküliku neli tükki lugemise järjekorras: nurk, mis kannab x², kaks riba ja vabaliikme nurk.
  
  $x\cdot x \;+\; x\cdot 5 \;+\; (-5)\cdot x \;+\; (-5)\cdot 5$
2. Kaks riba on 5x ja −5x. Nad taanduvad, ja paneeli trükitud kolmliikmel ei ole keskliiget üldse.
  
  $= x^{2} + 5x - 5x - 25 = x^{2} + 0x - 25$
3. Diskriminandi rida näitab väärtust 100 ehk 10², mis on täisruut. Järelikult leiduvad täisarvuliste kordajatega sulud. Siin me muidugi teame seda niigi, sest panime need ise kokku.
  
  $b^{2}-4ac = 0^{2} - 4(1)(-25) = 100 = 10^{2}$
4. Liikmete taandumine polnud juhus. Kui paned mõlemasse sulgu vastasmärkidega sama arvu, kujutavad ribad täpselt sama ristkülikut, mida arvestatakse kaks korda: kord liidetuna ja kord lahutatuna, olgu see arv milline tahes.
  
  $(x+q)(x-q) = x^{2} + qx - qx - q^{2} = x^{2} - q^{2}$
5. Miski selles arutluses ei nõua, et x oleks täht. Pane sinna 100 ja korrutamisest saab lahutamine.
  
  $95 \times 105 = (100-5)(100+5) = 100^{2} - 5^{2} = 10{,}000 - 25 = 9{,}975$
6. Iga kaks arvu saab kirjutada keskkohana ja vahena kummalgi pool, seega toimib see iga paari puhul, mille keskmine on mugav.
  
  $47 \times 53 = (50-3)(50+3) = 2{,}500 - 9 = 2{,}491$
7. Tagurpidi loetuna teeb ta raskema töö. Arvu 8051 tegurdamiseks otsi ruutu, mis ületab teda teise ruudu võrra: 90² on esimene, mis seda teeb, ja kaks sulgu ongi tegurid. See on Fermat' meetod, ja see on kiire täpselt siis, kui kaks tegurit asuvad teineteise lähedal, nagu 83 ja 97.
  
  $90^{2} - 8{,}051 = 8{,}100 - 8{,}051 = 49 = 7^{2} \;\Longrightarrow\; 8{,}051 = 83 \times 97$
Vastus

x² − 25 ning 95 × 105 = 9 975. Keskmine liige kaob, sest need kaks riba on võrdsed ja vastasmärgilised, jättes alles kuju x² − q². Kui kasutada seda seost tagurpidi, saab avaldiste asemel tegurdada hoopis arve: 8 051 = 90² − 7² = 83 × 97.

$a^{2}-b^{2} = (a-b)(a+b) \qquad\Longleftrightarrow\qquad N = m^{2}-d^{2} = (m-d)(m+d)$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Ava sulud: (3x − 2)(x + 5).

Näita vastust

3x² + 13x − 10

$3x^{2}+13x-10$
Ava sulud: (x − 4)(x + 1)(x + 3).

Näita vastust

x³ − 13x − 12

$x^{3}-13x-12$
Tegurda x² + x − 20.

Näita vastust

(x + 5)(x − 4)

$(x+5)(x-4)$
Tegurda 10x² − 11x − 6.

Näita vastust

(2x − 3)(5x + 2)

$(2x-3)(5x+2)$
Tegurda 2x² − 18 täielikult.

Näita vastust

2(x − 3)(x + 3)

$2(x-3)(x+3)$
Tegurda x² − 7x.

Näita vastust

x(x − 7)

$x(x-7)$
Kas 2x² + 3x − 4 tegurdub täisarvudega?

Näita vastust

Ei. Selle diskriminant on 41, mis ei ole täisruut.

$b^{2}-4ac=41$

FOIL-i neli tähte on neli ristkülikut

Aseta sulgude avamise kõrvale ristkülik, mille küljed on x + 2 ja x + 3. See jaguneb neljaks tükiks, sest kumbki külg jaguneb kaheks: x², kaks riba mõõtudega 3x ja 2x ning 6 nurgas. Need neli pindala ongi avaldise neli liiget ja nende summa annab kogupindala: just seda sulgude avamine tähendab. Järjekord, milles need läbi käid, ei oma tähtsust. Seepärast toimivad kõik meeldejätmise nipid ja seepärast pole neist ühtegi tegelikult vaja. Tee mõni kordaja negatiivseks ning sellega piirnevad osad muutuvad heledaks ja saavad katkendliku serva. Negatiivne pindala tähendab lahutamist ja geomeetriline pilt töötab laitmatult edasi — mida on raske öelda meeldejätmisreeglite kohta.

Tegurdamine on seesama pilt, ja just seetõttu ongi see raskem

Vali Tegurda ja küsimus pöördub ümber: pindala on teada, millised olid küljed? Midagi uut siin ei ole. Muutunud on vaid see, et sulgude avamine on arvutus, tegurdamine aga otsing. Neli osa on antud kogusummana ning neist tuleb moodustada ristkülik. Selle erinevuse tõttu õpetatakse üht suunda kindla võttena, teist aga leidlikkust nõudva oskusena. Samal põhjusel on kahe algarvu korrutamine lihtne, kuid nende korrutise tegurdamisele tugineb RSA.

Üksainus test ütleb, kas otsingul on üldse mõtet

Enne tegurite otsimist arvuta b² − 4ac. Kui tulemus on täisruut, saab kolmliikme lahutada täisarvuliste kordajatega teguriteks. Kui mitte, siis sobivat paigutust ei ole ja proovimine seda ei tekita. Vajuta Seda ei saa tegurdada: avaldise x² + x + 1 diskriminant on −3 ning vastavat ristkülikut lihtsalt pole. Sama diskriminant määrab ruutvõrrandi juurte arvu. See pole juhus, sest ristküliku külgedes peituvad võrrandi juured ning täisarvuliste külgede otsimine tähendab ratsionaalarvuliste juurte otsimist. Kui läbi vaadata kõik kolmliikmed, kus a on 1 kuni 8 ning b ja c on −12 kuni 12, leidub täisruudust diskriminant 733 juhul ning kõik need 733 kolmliiget tegurduvad.

Õpitee

Ruutvõrrandist edasi

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.

Sulgude avamine ja tegurdamine

Kust valem tuleb

Lisaülesanded, ainult vastustega

FOIL-i neli tähte on neli ristkülikut 🖖

Tegurdamine on seesama pilt, ja just seetõttu ongi see raskem 🖖

Üksainus test ütleb, kas otsingul on üldse mõtet 🖖

FOIL-i neli tähte on neli ristkülikut

Tegurdamine on seesama pilt, ja just seetõttu ongi see raskem

Üksainus test ütleb, kas otsingul on üldse mõtet