← Matemaatika

Kompleksarvude kalkulaator

Sisesta z₁ ja z₂ ning vali tehe. Kui reaalosa ja imaginaarosa on paraja suurusega täisarvud, saab vastused esitada täpselt: jagatise murdudena, mooduli juuravaldisena ning argumendi π murdosana, kui see on võimalik.

Korrutamine i2=−1(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned}&i^{2}=-1\\&(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}
Jagamine a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}
Moodul ja argument z=a+bi=r(cos⁡θ+isin⁡θ)r=a2+b2,tan⁡θ=ba−180∘<θ≤180∘\begin{aligned}&z=a+bi=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad\tan\theta=\frac{b}{a}\\&-180^{\circ}<\theta\le180^{\circ}\end{aligned}
Korrutised ja jagatised ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣arg⁡(z1z2)=arg⁡z1+arg⁡z2\begin{aligned}&|z_{1}z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|\\&\arg(z_{1}z_{2})=\arg z_{1}+\arg z_{2}\end{aligned}
Moivre’i valem [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{aligned}&\left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^{n}\\&=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\end{aligned}
n-astme juured wn=r(cos⁡θ+isin⁡θ) ⇒wk=rn(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=θ+360∘kn,  k=0,…,n−1\begin{aligned}&w^{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\ \Rightarrow\\&w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k}\right)\\&\phi_{k}=\frac{\theta+360^{\circ}k}{n},\ \ k=0,\dots,n-1\end{aligned}
Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Kompleksarvude kalkulaator

Kompleksarv on arv kujul z = a + bi, kus a ja b on reaalarvud ning i² = −1. Arvu a nimetatakse reaalosaks ja arvu b imaginaarosaks. Komplekstasandil vastab arvule z punkt (a, b).

Kust valem tuleb

  1. Arvuta algebrast tuttaval viisil ja asenda siis i² arvuga −1. Korruta sulud lahti nagu tavaliselt. Liige, mis sisaldab i², muutub vastasmärgiliseks reaalarvuks ja liidetakse reaalosa liikmetega.
    (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac−bd)+(ad+bc)i\begin{aligned}(a+bi)(c+di)&=ac+adi+bci+bdi^{2}\\&=(ac-bd)+(ad+bc)i\end{aligned}
  2. Jagamisel kasuta kaaskompleksarvu. Arvude c + di ja c − di korrutis on reaalarv c² + d². Korruta lugeja ja nimetaja nimetaja kaaskompleksarvuga, et saada nimetajasse reaalarv. Seejärel jaga reaalosa ja imaginaarosa eraldi.
    (c+di)(c−di)=c2+d2a+bic+di=(a+bi)(c−di)c2+d2\begin{aligned}&(c+di)(c-di)=c^{2}+d^{2}\\&\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^{2}+d^{2}}\end{aligned}
  3. Leia moodul ja argument. Moodul r on kaugus nullpunktist, argument θ aga nurk reaaltelje positiivsest suunast, mis valitakse vahemikust −180° kuni 180°. Kui a < 0, annab tan⁻¹(b/a) suuna vastasveerandisse. Õige argumendi saamiseks liida või lahuta 180°.
    r=a2+b2,θ=tan⁡−1ba  (a>0)θ=tan⁡−1ba±180∘  (a<0)\begin{aligned}&r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\qquad\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}\ \ (a>0)\\&\theta=\tan^{-1}\frac{b}{a}\pm180^{\circ}\ \ (a<0)\end{aligned}
  4. Korruta trigonomeetrilisel kujul. Korrutist lahti kirjutades ja nurkade summa valemeid kasutades selgub, et moodulid korrutatakse ning argumendid liidetakse. Kui võrdseid tegureid on n, saame Moivre’i valemi.
    r1(cos⁡α+isin⁡α)⋅r2(cos⁡β+isin⁡β)=r1r2[(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+i(sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β)]=r1r2(cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β))⇒ [r(cos⁡θ+isin⁡θ)]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)\begin{aligned}&r_{1}(\cos\alpha+i\sin\alpha)\cdot r_{2}(\cos\beta+i\sin\beta)\\&=r_{1}r_{2}\big[(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)\\&\qquad+i(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)\big]\\&=r_{1}r_{2}\left(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta)\right)\\&\Rightarrow\ \left[r(\cos\theta+i\sin\theta)\right]^{n}\\&\qquad=r^{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)\end{aligned}
  5. Juurte leidmiseks kasuta Moivre’i valemit tagurpidi. Võrdusest wⁿ = z järeldub, et arvu w moodul on n-astme juur arvust r. Argument on aga määratud täispöörete täpsusega. Nurgad θ, θ + 360°, θ + 720°, … kirjeldavad kõik arvu z. Jagades need arvuga n, saame n erinevat juurt, mille argumendid erinevad üksteisest 360°/n võrra.
    wn=r(cos⁡θ+isin⁡θ)⇒ wk=rn(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=θ+360∘kn,  k=0,…,n−1\begin{aligned}&w^{n}=r(\cos\theta+i\sin\theta)\\&\Rightarrow\ w_{k}=\sqrt[n]{r}\left(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k}\right)\\&\phi_{k}=\frac{\theta+360^{\circ}k}{n},\ \ k=0,\dots,n-1\end{aligned}

Ülesanded täielikult lahendatud

  1. Korrutamine 3 sammu

    Esita (4 − 3i)(2 + 5i) kujul a + bi.

    Ava see ülesanne tööriistas

    1. Korruta sulud lahti.

      (4−3i)(2+5i)=8+20i−6i−15i2(4-3i)(2+5i)=8+20i-6i-15i^{2}

    2. Asenda i² arvuga −1. Viimase liikme märk muutub ja selle saab liita reaalosa liikmega.

      =8+15+14i=23+14i=8+15+14i=23+14i

    3. Kontroll mahub ühele reale: korrutise moodul on tegurite moodulite korrutis, seega peab 23² + 14² võrduma avaldisega 5² × 29.

      232+142=529+196=725=52×2923^{2}+14^{2}=529+196=725=5^{2}\times29

    Vastus

    23 + 14i

    23+14i23+14i
  2. Jagamine kaaskompleksarvu abil 4 sammu

    Esita (3 + 2i)/(1 + 2i) kujul a + bi.

    Ava see ülesanne tööriistas

    Näita lahendust

    1. Korruta lugeja ja nimetaja nimetaja kaaskompleksarvuga 1 − 2i.

      3+2i1+2i⋅1−2i1−2i\frac{3+2i}{1+2i}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}

    2. Nimetajaks saad reaalarvu 1² + 2² = 5.

      (1+2i)(1−2i)=12+22=5(1+2i)(1-2i)=1^{2}+2^{2}=5

    3. Korruta lugejas sulud lahti ja asenda i² arvuga −1.

      (3+2i)(1−2i)=3−6i+2i−4i2=7−4i(3+2i)(1-2i)=3-6i+2i-4i^{2}=7-4i

    4. Jaga reaalosa ja imaginaarosa eraldi arvuga 5.

      7−4i5=75−45i\frac{7-4i}{5}=\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i

    Vastus

    7/5 − 4/5 i ehk 1,4 − 0,8i.

    75−45i\frac{7}{5}-\frac{4}{5}i
  3. Argument kolmandas veerandis 4 sammu

    Leia arvu z = −2 − 2i moodul ja argument. Nende abil esita z² trigonomeetrilisel kujul.

    Ava see ülesanne tööriistas

    Näita lahendust

    1. Leia moodul Pythagorase teoreemi abil.

      ∣z∣=(−2)2+(−2)2=8=22|z|=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

    2. Avaldise tan⁻¹((−2)/(−2)) väärtus on 45°, mis annab suuna esimesse veerandisse. Arv z asub nullpunktist 0 vasakul ja allpool, kolmandas veerandis. Seepärast lahuta 180°.

      tan⁡−1−2−2=45∘arg⁡z=45∘−180∘=−135∘=−3π4\begin{aligned}&\tan^{-1}\frac{-2}{-2}=45^{\circ}\\&\arg z=45^{\circ}-180^{\circ}=-135^{\circ}=-\frac{3\pi}{4}\end{aligned}

    3. Ruutu tõstmisel tõuseb moodul ruutu ja argument kahekordistub. −270° jääb vahemikust −180° kuni 180° välja, seega liida täispööre.

      ∣z2∣=(22)2=82arg⁡z=−270∘→−270∘+360∘=90∘\begin{aligned}&|z^{2}|=(2\sqrt2)^{2}=8\\&2\arg z=-270^{\circ}\to-270^{\circ}+360^{\circ}=90^{\circ}\end{aligned}

    4. Moodulile 8 ja argumendile 90° vastab arv 8i. Sama tulemuse saad, kui korrutad avaldises (−2 − 2i)² sulud lahti.

      z2=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)=8i(−2−2i)2=4+8i+4i2=8i\begin{aligned}&z^{2}=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=8i\\&(-2-2i)^{2}=4+8i+4i^{2}=8i\end{aligned}

    Vastus

    |z| = 2√2, arg z = −135° = −3π/4; z² = 8(cos 90° + i sin 90°) = 8i.

    ∣z∣=22,arg⁡z=−3π4;z2=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)=8i|z|=2\sqrt2,\quad\arg z=-\frac{3\pi}{4};\qquad z^{2}=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})=8i
  4. Korrutamine trigonomeetrilisel kujul 3 sammu

    z = 1 + i ja w = 2i. Esita mõlemad arvud trigonomeetrilisel kujul ning leia zw sulge lahti korrutamata.

    Ava see ülesanne tööriistas

    Näita lahendust

    1. Leia kummagi arvu moodul ja argument.

      z=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)w=2(cos⁡90∘+isin⁡90∘)\begin{aligned}&z=\sqrt2(\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ})\\&w=2(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})\end{aligned}

    2. Korruta moodulid ja liida argumendid.

      zw=22(cos⁡135∘+isin⁡135∘)zw=2\sqrt2(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ})

    3. Mine tagasi kujule a + bi, kasutades väärtusi cos 135° = −√2/2 ja sin 135° = √2/2.

      =22(−22+22i)=−2+2i=2\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i\right)=-2+2i

    Vastus

    zw = 2√2(cos 135° + i sin 135°) = −2 + 2i

    zw=22(cos⁡135∘+isin⁡135∘)=−2+2izw=2\sqrt2(\cos135^{\circ}+i\sin135^{\circ})=-2+2i
  5. Kõrge aste 3 sammu

    Leia (1 + i)⁸.

    Ava see ülesanne tööriistas

    Näita lahendust

    1. Kaheksa sulupaari lahtikorrutamine võtaks aega. Esita 1 + i trigonomeetrilisel kujul.

      1+i=2(cos⁡45∘+isin⁡45∘)1+i=\sqrt2(\cos45^{\circ}+i\sin45^{\circ})

    2. Moivre’i valemi järgi tõsta moodul 8. astmesse ja korruta argument arvuga 8.

      (1+i)8=(2)8(cos⁡360∘+isin⁡360∘)(1+i)^{8}=(\sqrt2)^{8}(\cos360^{\circ}+i\sin360^{\circ})

    3. (√2)⁸ = 2⁴ = 16 ning 360° on täispööre.

      =16(1+0i)=16=16(1+0i)=16

    Vastus

    (1 + i)⁸ = 16

    (1+i)8=16(1+i)^{8}=16
  6. Kuupjuured 3 sammu

    Lahenda z³ = 8i ja esita juured kujul a + bi.

    Ava see ülesanne tööriistas

    Näita lahendust

    1. Esita 8i trigonomeetrilisel kujul.

      8i=8(cos⁡90∘+isin⁡90∘)8i=8(\cos90^{\circ}+i\sin90^{\circ})

    2. Võta moodulist kuupjuur. Argumendile liida enne 3-ga jagamist täispöördeid.

      zk=2(cos⁡ϕk+isin⁡ϕk)ϕk=90∘+360∘k3,  k=0,1,2\begin{aligned}&z_{k}=2(\cos\phi_{k}+i\sin\phi_{k})\\&\phi_{k}=\frac{90^{\circ}+360^{\circ}k}{3},\ \ k=0,1,2\end{aligned}

    3. Väärtused k = 0, 1, 2 annavad nurgad 30°, 150° ja 270°. Väärtusel k = 3 saaksid 390°, mis annab taas sama suuna kui 30°.

      z0=2(cos⁡30∘+isin⁡30∘)=3+iz1=2(cos⁡150∘+isin⁡150∘)=−3+iz2=2(cos⁡270∘+isin⁡270∘)=−2i\begin{aligned}&z_{0}=2(\cos30^{\circ}+i\sin30^{\circ})=\sqrt3+i\\&z_{1}=2(\cos150^{\circ}+i\sin150^{\circ})=-\sqrt3+i\\&z_{2}=2(\cos270^{\circ}+i\sin270^{\circ})=-2i\end{aligned}

    Vastus

    z = √3 + i, −√3 + i, −2i: kolm punkti raadiusega 2 ringjoonel, üksteisest 120° kaugusel.

    z=3+i,−3+i,−2iz=\sqrt3+i,\quad-\sqrt3+i,\quad-2i
  7. Ruutjuur osade võrdsustamise abil 3 sammu

    Leia arvu 5 + 12i ruutjuured.

    Ava see ülesanne tööriistas

    Näita lahendust

    1. Olgu (a + bi)² = 5 + 12i, kus a ja b on reaalarvud. Korruta sulud lahti ning võrdsusta reaalosad ja imaginaarosad.

      (a+bi)2=a2−b2+2abia2−b2=5,2ab=12\begin{aligned}&(a+bi)^{2}=a^{2}-b^{2}+2abi\\&a^{2}-b^{2}=5,\quad2ab=12\end{aligned}

    2. Moodulite võrdsustamine annab kolmanda võrrandi, mille abil on süsteemi lihtne lahendada.

      a2+b2=∣5+12i∣=52+122=13a^{2}+b^{2}=|5+12i|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13

    3. Liitmisel ja lahutamisel saad a² = 9 ning b² = 4. Kuna ab = 6 on positiivne, on a ja b sama märgiga.

      2a2=18,  2b2=8 ⇒ (a,b)=(3,2), (−3,−2)2a^{2}=18,\ \ 2b^{2}=8\ \Rightarrow\ (a,b)=(3,2),\ (-3,-2)

    Vastus

    3 + 2i ja −3 − 2i

    ±(3+2i)\pm(3+2i)
  8. Kompleksjuurtega ruutvõrrand 3 sammu

    Lahenda z² − 4z + 13 = 0 ning kontrolli, et juurte summa on 4 ja korrutis 13.

    Ava see ülesanne tööriistas

    Näita lahendust

    1. Diskriminant on negatiivne ja selle ruutjuur on puhtimaginaarne.

      b2−4ac=16−52=−36,−36=6ib^{2}-4ac=16-52=-36,\qquad\sqrt{-36}=6i

    2. Kasuta tavalist ruutvõrrandi lahendivalemit.

      z=4±6i2=2±3iz=\frac{4\pm6i}{2}=2\pm3i

    3. Reaalsete kordajate korral moodustavad kompleksjuured kaaskompleksarvude paari. Liitmisel imaginaarosad taanduvad ning korrutis on |2 + 3i|².

      (2+3i)+(2−3i)=4,(2+3i)(2−3i)=4+9=13(2+3i)+(2-3i)=4,\qquad(2+3i)(2-3i)=4+9=13

    Vastus

    z = 2 ± 3i

    z=2±3iz=2\pm3i
  9. 3 + 2i korrutamine oma kaaskompleksarvuga korrutise tõestamiseks 5 sammu

    Korruta 3 + 2i selle kaaskarvuga ja muuda tulemus tõestuseks, et kahe kahe ruudu summa korrutis on taas kahe ruudu summa. See on Korruta väärtustega z₁ = 3 + 2i ja z₂ = 3 − 2i.

    Ava see ülesanne tööriistas

    Näita lahendust

    1. Kaks segaliiget on võrdsed ja vastasmärgilised, seega need taanduvad. Järele jääb liige −b²i², mis muudab märki ning liidetakse lahutamise asemel — nõnda annab kaaskarvude paar korrutamisel alati reaalarvu ning see arv saadakse ruutuvõtmisega.

      (a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2⟹(3+2i)(3−2i)=9+4=13(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2}+b^{2}\quad\Longrightarrow\quad(3+2i)(3-2i)=9+4=13

    2. Sellel reaalarvul on juba nimi. Moodul on kaugus algpunktist, seega Pythagorase teoreemi kohaselt on |z|² = a² + b², ning paneelil kuvatav 3,606 on √13 ümardatuna ülespoole kolmanda komakohani.

      ∣z∣=a2+b2=13=3.605551,zzˉ=∣z∣2=13|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{13}=3.605551,\qquad z\bar z=|z|^{2}=13

    3. Nüüd vaatleme kahe kompleksarvu üldist korrutist, kus i² = −1 viib ühe liikme reaalosa juurde. Mooduleid siin veel ei esine.

      (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

    4. Rakenda sellele korrutisele 1. sammu. Teine paar segaliikmeid, −2abcd ja +2abcd, taandub lahtikirjutamisel ning neli allesjäänud liiget tegurdatakse kaheks sulgavaljendiks. Soovi korral on iga täht täisarv ning viimasel real ei esine enam i-d.

      (ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(a2+b2)(c2+d2)(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}=(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})

    5. Nõnda moodustab täisarvupaaride paar kolmanda. Arvuga 3 + 2i käib kaasas 13 ja arvuga 1 + 2i käib kaasas 5; nende korrutisega käib kaasas 65. Teise teguri kaaskarvu võtmine peegeldab seda üle reaaltelje ning annab tulemuseks teise paari, millel on sama summa.

      (3+2i)(1+2i)=−1+8i: 12+82=65=13×5;(3+2i)(1−2i)=7−4i: 72+42=65(3+2i)(1+2i)=-1+8i:\ 1^{2}+8^{2}=65=13\times5;\qquad(3+2i)(1-2i)=7-4i:\ 7^{2}+4^{2}=65

    Vastus

    Paneelil kuvatakse kaaskarvude korrutisena 13 ja moodulina 3,606, ning 3,606² = 13,003 tuleneb ümardamisest, mitte lahknevusest. Oluline on meeles pidada, et samasus säilib ka kompleksarvude eemaldamisel: (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² on väide nelja täisarvu kohta, milles ei sisaldu ühtegi i-d. Diophantos pani just selle arvu kirja kolmandal sajandil — ta märkis, et 65 jaguneb nii 1 + 64 kui ka 16 + 49, sest see on 13 × 5 ning kumbki tegur on ise kahe ruudu summa — ligi kolmteist sajandit enne seda, kui Cardano pani esmakordselt kirja negatiivse arvu ruutjuure. Kaks algtegurit, kaks esitust: arvul 13 on vaid 9 + 4 ja arvul 5 vaid 1 + 4. Kompleksarvude korrutamine on masin, mis toodab teise esituse, ja kaaskarv on kang, mis nende vahel lülitab.

    (a2+b2)(c2+d2)=(ac−bd)2+(ad+bc)2(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}

Lisaülesanded, ainult vastustega

  1. Esita (2 − i)(3 + 4i) kujul a + bi.

    Näita vastust

    10 + 5i

    10+5i10+5i

  2. Esita (1 + 3i)/(2 − i) kujul a + bi.

    Näita vastust

    −1/5 + 7/5 i

    −15+75i-\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i

  3. Leia arvu −√3 + i moodul ja argument.

    Näita vastust

    2 ja 150° = 5π/6

    2,150∘=5π62,\quad150^{\circ}=\frac{5\pi}{6}

  4. Leia (√3 + i)⁶.

    Näita vastust

    −64

    −64-64

  5. Lahenda z³ = −8.

    Näita vastust

    z = 1 + √3 i, −2, 1 − √3 i

    1+3 i,−2,1−3 i1+\sqrt3\,i,\quad-2,\quad1-\sqrt3\,i

  6. Leia arvu −3 + 4i ruutjuured.

    Näita vastust

    1 + 2i ja −1 − 2i

    ±(1+2i)\pm(1+2i)

  7. Lahenda z² − 2z + 5 = 0.

    Näita vastust

    z = 1 ± 2i

    z=1±2iz=1\pm2i

Imaginaararvud sündisid reaalseid vastuseid leidma

Kompleksarve ei leiutatud võrrandi x² + 1 = 0 lahendamiseks — see ei huvitanud kedagi. Neid surusid peale kolmanda astme võrrandid. Cardano 1545. aasta valem võrrandile x³ = px + q läbib mõnikord negatiivsete arvude ruutjuuri isegi siis, kui kõik kolm lahendit on tavalised reaalarvud. 1572. aastal näitas Bombelli, et need „võimatud“ suurused taanduvad ja annavad õiged reaalsed vastused. Imaginaarne oli ümbertee reaalseni.

Õpitee

Ruutvõrrandist edasi

Allikad (1)
  • Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

· Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.