Laetud varda, rõnga ja ketta elektriväli

Jaga laetud keha nii väikesteks osadeks, et neid saaks vaadelda punktlaengutena, liida nende väljavektorid ja lase osakestel kahaneda: see summa ongi integraal. Suurema osa tööst teeb ära sümmeetria. Igal laenguelemendil on peegelpaariline, mille külgsuunaline mõju esimese oma tasakaalustab, mistõttu tuleb sümmeetrilise kuju korral integreerida vaid ühtainsat komponenti. Vali kuju, nihuta punkti P ja määra, mitu osalaengut leht kokku liidab.

Liida osad vektoritena	$\vec E=k\int\frac{dq}{r^{2}}\,\hat r,\qquad k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$
Või liida need arvudena ja diferentseeri	$V=k\int\frac{dq}{r},\qquad E_z=-\frac{\partial V}{\partial z}$

Näidisarvutus — Laetud varda, rõnga ja ketta elektriväli

Laeng meetri kohta	1,592×10⁻⁸ C/m
Väli punktis P integraalina	3178 N/C
Sama 12 punktlaenguna	3178 N/C
Potentsiaal punktis P	635,5 V
Väli potentsiaalist, −dV/dz	3178 N/C
Kogu Q keskpunktis	8988 N/C

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Laetud varda, rõnga ja ketta elektriväli

Pideva laengujaotuse elektriväli on selle osade väljade vektorsumma piirprotsessis, kus iga element dq kahaneb punktlaenguks: E = k∫dq r̂/r², kus k = 1/(4πε₀) = 8,988 × 10⁹ N·m²/C². Potentsiaal on seesama summa ilma suundadeta: V = k∫dq/r.

Mida iga sümbol tähendab

dq: ühe elemendi laeng: joonel λ dx, pinnal σ dA
λ, σ: laengu pikkus- ja pinnatihedus; ühtlase jaotuse korral vastavalt Q/L ja Q/(πR²)
r, θ: kaugus laenguelemendist punktini P ja selle sirglõigu nurk telje suhtes

Kust valem tuleb

Jaga laeng osadeks. Iga element kannab laengut dq ja mõjub punktis P nagu punktlaeng, tekitades välja k dq/r² piki elementi ja punkti P ühendavat sirget.
$dq=\lambda\,dx,\qquad dE=\frac{k\,dq}{r^{2}}$
Paarista iga element tema peegelpildiga. Teisel pool telge asuv paariline tekitab sama tugeva välja, mille ristkomponent on vastassuunaline. Ristkomponendid taanduvad ning liita tuleb vaid teljesuunaline komponent dE cos θ = dE·z/r.
$dE_z=dE\cos\theta=\frac{k\,dq}{r^{2}}\cdot\frac{z}{r}$
Integreeri see komponent. Rõngal asuvad kõik osakesed punktist P samal kaugusel √(z² + R²). Seetõttu on integreeritav avaldis iga dq jaoks sama ja integraal võrdub selle avaldise korrutisega kogu laenguga Q.
$E=\int\frac{kz\,dq}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$
Koosta ketas rõngastest. Raadiusega r ja laiusega dr rõngas kannab laengut dq = σ·2πr dr. Liida 3. sammu valemiga leitud rõngaste väljad vahemikus r = 0 kuni R.
$E=\int_{0}^{R}\frac{kz\,\sigma\,2\pi r\,dr}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)$
Või integreeri potentsiaal ja diferentseeri. Kuna potentsiaal V on skalaaride summa, pole vaja komponente lahutada; elektriväli piki telge on potentsiaali V tuletis miinusmärgiga.
$V=k\int\frac{dq}{r}=\frac{kQ}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}},\qquad E_z=-\frac{dV}{dz}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$

Eeldab: Eeldatakse, et laeng püsib paigal ja on jaotunud ühtlaselt, välja arvatud juhul, kui ülesanne annab tiheduse λ või σ asukoha funktsioonina (sellisel juhul läheb see funktsioon integraali sisse elemendi dq kaudu). Keskkonnaks on vaakum või õhk, mille dielektriline läbitavus on vaid 0,06% võrra suurem.

Ülesanded täielikult lahendatud

Varras pikiteljel 3 sammu
Ühtlaselt jaotunud 10 nC laenguga varda pikkus on 10 cm. Leia elektriväli varda pikisirgel, 5 cm kaugusel ühest otsast.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Paigutame varda x-teljele vahemikku x = 0 kuni x = L ning punkti P kohale x = L + d. Kohal x asuv lõik dx on punktist P kaugusel L + d − x. Kuna iga elemendi väli on suunatud samamoodi piki varrast, ei taandu miski ega vaja komponentideks lahutamist:
  
  $dE=\frac{k\lambda\,dx}{(L+d-x)^{2}},\qquad\lambda=\frac{Q}{L}=1{.}0\times10^{-7}\ \mathrm{C/m}$
2. Integreerime üle kogu varda:
  
  $E=k\lambda\int_{0}^{L}\frac{dx}{(L+d-x)^{2}}=k\lambda\Bigl(\frac{1}{d}-\frac{1}{d+L}\Bigr)=\frac{kQ}{d\,(d+L)}$
3. Kui d = 0,05 m ja L = 0,10 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}05)(0{.}15)}=1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Vastus

1,198 × 10⁴ N/C, piki varda pikisirget vardast eemale. Kui d on palju suurem kui L, taandub valem punktlaengu väljaks kQ/d².

$E=\frac{kQ}{d\,(d+L)}\approx1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Varras keskristsirgel ja lõpmatu sirge 4 sammu
20 cm pikkune varras kannab 10 nC laengut. Leia elektriväli ristsirgel 10 cm kaugusel varda keskpunktist ja võrdle seda sama joontihedusega lõpmata pika sirge väljaga.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Paigutame varda x-teljele vahemikku −L/2 kuni L/2 ja punkti P kohale (0, y). Kohal x ja −x asuvad elemendid on punktist P võrdsel kaugusel; nende x-komponendid taanduvad ja y-komponendid liituvad, seega integreerime y-komponendi:
  
  $dE_y=\frac{k\lambda\,dx}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
2. Integreerime, kasutades seost ∫dx/(x² + y²)^(3/2) = x/(y²√(x² + y²)):
  
  $E=k\lambda y\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dx}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}=\frac{k\lambda L}{y\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}=\frac{kQ}{y\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}$
3. Kui λ = 5,0 × 10⁻⁸ C/m, y = 0,10 m ja L = 0,20 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}10)\sqrt{0{.}10^{2}+0{.}10^{2}}}\approx6355\ \mathrm{N/C}$
4. Kasvatame pikkust L piiramatult: ruutjuur läheneb väärtusele L/2 ning
  
  $E\to\frac{2k\lambda}{y}=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(5{.}0\times10^{-8})}{0{.}10}\approx8988\ \mathrm{N/C}$
Vastus

6 355 N/C, risti vardaga. Lõpmatu sirge annab 8 988 N/C, seega annab lõplik varras sellest 70,7%, mis vastab väärtusele sin 45°: varda kumbki pool ulatub ristsirgest 45° nurga alla.

$E\approx6355\ \mathrm{N/C}=0{.}707\cdot\frac{2k\lambda}{y}$
Rõngas oma teljel ja välja maksimumkoht 4 sammu
10 cm raadiusega rõngas kannab 10 nC laengut. Leia elektriväli selle teljel 10 cm kaugusel keskpunktist ning kaugus, kus teljesuunaline väli on maksimaalne.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Iga element on punktist P ühesugusel kaugusel √(z² + R²). Teljega risti olevad komponendid taanduvad üle kogu rõnga ning iga element lisab piki telge panuse dE·z/r:
  
  $E=\int\frac{k\,dq}{r^{2}}\cdot\frac{z}{r}=\frac{kz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}\int dq=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}$
2. Kohal z = R = 0,10 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}10)}{(0{.}02)^{3/2}}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
3. Maksimumi leidmiseks seame dE/dz = 0:
  
  $\frac{dE}{dz}=kQ\,\frac{\left(z^{2}+R^{2}\right)-3z^{2}}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{5/2}}=0\ \Rightarrow\ z=\frac{R}{\sqrt{2}}\approx7{.}07\ \mathrm{cm}$
4. Seal:
  
  $E_{\max}=\frac{kQ\,(R/\sqrt{2})}{\left(\tfrac{3}{2}R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{2kQ}{3\sqrt{3}\,R^{2}}\approx3459\ \mathrm{N/C}$
Vastus

3 178 N/C kohal 10 cm; maksimum on 3 459 N/C kohal z = 7,07 cm. Keskpunktis on väli null.

$E(0{.}10\ \mathrm{m})\approx3178\ \mathrm{N/C},\qquad E\Bigl(\frac{R}{\sqrt{2}}\Bigr)=E_{\max}\approx3459\ \mathrm{N/C}$
Ketas oma teljel, koostatud rõngastest 3 sammu
10 cm raadiusega ketta pinnale on ühtlaselt jaotatud 10 nC laeng. Leia elektriväli ketta teljel 1 cm kaugusel keskpunktist ja võrdle seda sama pinnatihedusega lõpmatu tasapinna väljaga.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. σ = Q/(πR²) = 3,183 × 10⁻⁷ C/m². Jaotame ketta raadiusega r ja laiusega dr kontsentrilisteks rõngasteks; igaüks neist kannab laengut dq = σ·2πr dr ning tekitab piki telge rõnga välja:
  
  $dE=\frac{kz\,\sigma\,2\pi r\,dr}{\left(z^{2}+r^{2}\right)^{3/2}}$
2. Integreerime vahemikus r = 0 kuni R, tehes muutujavahetuse u = z² + r², du = 2r dr:
  
  $E=\pi k\sigma z\int_{z^{2}}^{z^{2}+R^{2}}u^{-3/2}\,du=2\pi k\sigma\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}\Bigr)$
3. Kohal z = 0,01 m:
  
  $E=\frac{3{.}183\times10^{-7}}{2\,(8{.}854\times10^{-12})}\Bigl(1-\frac{0{.}01}{\sqrt{0{.}01^{2}+0{.}10^{2}}}\Bigr)=(1{.}798\times10^{4})(0{.}9005)\approx1{.}619\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
Vastus

1,619 × 10⁴ N/C, mis on 90,0% lõpmatu tasapinna väljast σ/2ε₀ = 1,798 × 10⁴ N/C.

$E\approx1{.}619\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\approx0{.}900\cdot\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
Poolringjoon oma keskpunktis 3 sammu
10 cm raadiusega poolringjooneks painutatud peenike varras kannab 10 nC laengut. Leia elektriväli ringjoone keskpunktis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. λ = Q/(πR) = 3,183 × 10⁻⁸ C/m. Mõõdame nurka φ diameetrist. Kohal φ asuv element laenguga λR dφ on kaugusel R ning selle paariline kohal π − φ nullib diameetrisihilise komponendi, jättes alles ristsuunalise:
  
  $dE_\perp=\frac{k\lambda R\,d\varphi}{R^{2}}\sin\varphi$
2. Integreerime üle poolringjoone:
  
  $E=\frac{k\lambda}{R}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=\frac{2k\lambda}{R}=\frac{2kQ}{\pi R^{2}}$
3. Arvuliselt:
  
  $E=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{\pi\,(0{.}10)^{2}}\approx5722\ \mathrm{N/C}$
Vastus

5 722 N/C, piki sümmeetriatelge kaare keskpunktist eemale. Kaugusel R asuv sama joontihedusega λ lõpmatu sirge annab 2kλ/R ehk täpselt sama tulemuse.

$E=\frac{2k\lambda}{R}\approx5722\ \mathrm{N/C}$
Veerandringjoon komponentide kaupa 3 sammu
10 cm raadiusega veerandringjoon kannab 10 nC laengut. Leia elektriväli selle keskpunktis, integreerides mõlemad komponendid.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Paigutame kaare vahemikku φ = 0 kuni φ = π/2 keskpunktiga koordinaatide alguspunktis; λ = Q/(πR/2) = 6,366 × 10⁻⁸ C/m. Kohal φ asuv element tõukab punkti P endast otse eemale sihis −(cos φ, sin φ) ning siin ei nulli ükski paariline midagi:
  
  $dE_x=-\frac{k\lambda}{R}\cos\varphi\,d\varphi,\qquad dE_y=-\frac{k\lambda}{R}\sin\varphi\,d\varphi$
2. Integreerime vahemikus 0 kuni π/2:
  
  $E_x=E_y=-\frac{k\lambda}{R}=-\frac{(8{.}988\times10^{9})(6{.}366\times10^{-8})}{0{.}10}\approx-5722\ \mathrm{N/C}$
3. Liidame mõlemad komponendid kokku:
  
  $|E|=\sqrt{2}\,\frac{k\lambda}{R}\approx8092\ \mathrm{N/C}$
Vastus

8 092 N/C, suunatud kaarest eemale piki seda poolitavat 45° sirget. Sümmeetria kaudu saame täpselt sama: E = (2kλ/R) sin(θ₀/2), kus θ₀ = 90°.

$|E|=\sqrt{2}\,\frac{k\lambda}{R}=\frac{2k\lambda}{R}\sin45^{\circ}\approx8092\ \mathrm{N/C}$
Rõnga potentsiaal ja sellest tuletatud väli 2 sammu
Leia 3. ülesande rõnga teljel potentsiaal kohal z = 10 cm ning tuleta potentsiaalist elektriväli.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Potentsiaalid liituvad skalaaridena ning iga element on samal kaugusel:
  
  $V=\int\frac{k\,dq}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\frac{kQ}{\sqrt{z^{2}+R^{2}}}=\frac{89{.}88}{\sqrt{0{.}02}}\approx635{.}5\ \mathrm{V}$
2. Diferentseerime piki telge:
  
  $E_z=-\frac{dV}{dz}=\frac{kQz}{\left(z^{2}+R^{2}\right)^{3/2}}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
Vastus

V = 635,5 V ning tuletis −dV/dz annab tagasi 3. ülesande tulemuse 3 178 N/C, ilma et oleks vaja midagi komponentideks lahutada.

$V\approx635{.}5\ \mathrm{V},\qquad E_z=-\frac{dV}{dz}\approx3178\ \mathrm{N/C}$
Ebaühtlaselt laetud varras 4 sammu
Varras asub x-teljel vahemikus x = 0 kuni x = 0,50 m ja selle laengutihedus on λ = αx, kus α = 4,0 × 10⁻⁸ C/m². Leia varda kogulaeng ja elektriväli kohal x = −0,10 m.
Näita lahendust
1. Kuna λ muutub piki varrast, on ka kogulaeng avaldatav integraalina:
  
  $Q=\int_{0}^{L}\alpha x\,dx=\frac{\alpha L^{2}}{2}=\frac{(4{.}0\times10^{-8})(0{.}50)^{2}}{2}=5{.}0\times10^{-9}\ \mathrm{C}$
2. Kohal x asuv element on punktist P kaugusel x + d, kus d = 0,10 m, ning iga element tõukab punkti P samas suunas, piki −x telge:
  
  $E=k\alpha\int_{0}^{L}\frac{x\,dx}{(x+d)^{2}}$
3. Kirjutame lugeja x kujul (x + d) − d ja integreerime mõlemad osad eraldi:
  
  $\int_{0}^{L}\frac{x\,dx}{(x+d)^{2}}=\ln\frac{L+d}{d}-\frac{L}{L+d}=\ln6-\frac{5}{6}\approx0{.}9584$
4. Arvuliselt:
  
  $E=(8{.}988\times10^{9})(4{.}0\times10^{-8})(0{.}9584)\approx344{.}6\ \mathrm{N/C}$
Vastus

Q = 5,0 nC ja E = 344,6 N/C suunaga −x. Sama 5,0 nC ühtlase jaotuse korral annaks valemist kQ/(d(d + L)) tulemuseks 749 N/C; sellel vardal asub aga suurem osa laengust kaugemas otsas.

$Q=5{.}0\ \mathrm{nC},\qquad E\approx344{.}6\ \mathrm{N/C}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

30 cm pikkune varras kannab ühtlaselt jaotunud laengut −6,0 nC. Leia elektriväli varda pikisirgel, 10 cm kaugusel ühest otsast.

Näita vastust

1 348 N/C, suunatud varda poole.

$E=\frac{k|Q|}{d\,(d+L)}\approx1348\ \mathrm{N/C}$
Väga pikk sirge juhe kannab laengut 2,0 μC meetri kohta. Leia elektriväli 4,0 cm kaugusel juhtmest.

Näita vastust

8,988 × 10⁵ N/C, suunatud juhtmest eemale.

$E=\frac{2k\lambda}{r}\approx8{.}988\times10^{5}\ \mathrm{N/C}$
Näita, et rõnga teljesuunaline väli läheneb väärtusele kQ/z², kui z on palju suurem kui R, ning leia, kui kaugel erineb see väärtus punktlaengu omast alla 1%.

Näita vastust

Suhe on (1 + R²/z²)^(−3/2), mis läheneb ühele; väärtuseni 0,99 jõuab see kohal z = 12,2R.

$\frac{E}{kQ/z^{2}}=\Bigl(1+\frac{R^{2}}{z^{2}}\Bigr)^{-3/2}\ge0{.}99\ \Leftrightarrow\ z\ge12{.}2R$
5,0 cm raadiusega ketta laengu pinnatihedus on σ = 2,0 μC/m². Leia potentsiaal ketta keskpunktis ja teljel 5,0 cm kaugusel.

Näita vastust

5 647 V keskpunktis ja 2 339 V kohal z = 5,0 cm.

$V(0)=\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\approx5647\ \mathrm{V},\qquad V(R)=\frac{\sigma R}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\approx2339\ \mathrm{V}$
Raadiusega R rõnga ühel poolel on ühtlaselt jaotunud laeng +Q ja teisel poolel −Q. Leia elektriväli rõnga keskpunktis.

Näita vastust

4kQ/(πR²), positiivselt poolelt negatiivse poole: kumbki pool annab 2kQ/(πR²) ja mõlemad panused on samasuunalised.

$E=2\cdot\frac{2kQ}{\pi R^{2}}=\frac{4kQ}{\pi R^{2}}$
Pikkusega L varras kannab ühtlaselt jaotunud laengut Q. Leia potentsiaal varda keskristsirgel, kaugusel y vardast.

Näita vastust

V = (2kQ/L) ln[(L/2 + √(y² + L²/4))/y].

$V=\frac{2kQ}{L}\ln\frac{L/2+\sqrt{y^{2}+L^{2}/4}}{y}$

Rõnga elektriväli on tugevaim kohal z = R/√2 ja keskpunktis puudub täiesti

Vajuta nupule Rõnga välja maksimum. Keskpunktis on igal rõnga elemendil vastaspool täpne paariline, mistõttu sealne väli on rangelt null. Kaugel piki telge paistab rõngas punktlaenguna ja väli kahaneb seaduspärasusega 1/z². Nende vahel peab väljatugevus esmalt kasvama ja seejärel kahanema. Tingimus dE/dz = 0 avaldisele kQz/(z² + R²)^(3/2) viib võrrandini z² + R² = 3z², seega asub haripunkt kohal z = R/√2 ≈ 0,707R, kus E = 2kQ/(3√3 R²). 10 cm rõngale jaotatud 10 nC laengu korral on see 3 459 N/C ehk kõigest 38,5% väljast, mida sama laeng tekitaks 10 cm kaugusel punktlaenguna. Rõnga lähedal on iga osakese mõju suunatud valdavalt küljele ning külgmised komponendid nullivad üksteise.

Suure laetud ketta lähedal sõltub väli kaugusest vaevumärgatavalt

Vajuta nupule Ketas lähedalt. 10 cm raadiusega kettast 1 cm kõrgusel moodustab väli 90,0% lõpmatu tasapinna väljatugevusest σ/2ε₀ ning 1 mm kaugusel juba 99,0%. Valem varjab tegelikku põhjust. Kui kirjutada liige 1 − z/√(z² + R²) kujul 1 − cos α, kus α on nurk teljelt ketta servani, saab välja avaldada kujul E = kσΩ; siin on Ω = 2π(1 − cos α) ruuminurk, millena ketas punktist P paistab. Tasase ja ühtlaselt laetud pinna tekitatud väli sõltub vaid sellest, kui suure osa vaateväljast laeng enda alla võtab. Lõpmatu tasapind katab sellest alati täpselt poole ehk Ω = 2π. Seepärast on selle väli 1 mm ja 1 km kaugusel täpselt ühesugune: ehkki iga üksik laenguosa jääb kaugemale ja nõrgeneb, tuleb kasuliku nurga all vaatevälja juurde täpselt nii palju pinda, et see kaotus täielikult tasa teha.

Poolringjoon ja lõpmatu sirge tekitavad sama välja

Vajuta nupule Poolring keskpunktis. 10 cm raadiusega poolringjoonele jaotatud 10 nC laeng annab keskpunktis 5 722 N/C ning tabel näitab sedasama 5 722 N/C ka 10 cm kaugusel asuva sama joontihedusega lõpmatu sirge korral. Vastavus kehtib lausa elementhaaval. Punktist P vaadates asub sirge lõik dx ristsirge suhtes nurga θ all kaugusel R/cos θ ning paistab nurga dθ = cos²θ dx/R all. Seega taandub selle väli kλ dx cos²θ/R² kujule kλ dθ/R, mis sõltub üksnes nurgast. Sama nurga dθ alla jääv kaarelõik pikkusega R dθ asub täpselt kaugusel R ning annab samas suunas täpselt sama panuse kλ dθ/R. Niisiis tekitavad sirge varras ja sama nurga alla jääv raadiusega R ringjoonekaar võrdsed väljad. Kui valida kaare nurgaks θ₀ alla 180°, kajastab tabeli viimane rida just seda varrast.

Õpitee

Kust väljad tulevad

Allikad (3)

The method and four of the page's closed forms, each derived there: the line segment above its midpoint and the infinite line as its limit (Examples 5.5, 5.6), the ring on its axis (5.7), the disk on its axis and the infinite plane σ/(2ε₀) (5.8, Eq. 5.15): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 5.5, “Calculating Electric Fields of Charge Distributions”.
The potentials on the axis of a ring and a disk and on the bisector of a finite line (Examples 7.13–7.15), and the ring's field recovered as E_z = −∂V/∂z (Example 7.18): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), sections 7.3, “Calculations of Electric Potential”, and 7.4, “Determining Field from Potential”.
The standard graduate-entry text in which the field of a continuous distribution is written as the integral of k dq r̂/r²: D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 4th ed., Cambridge University Press (2017). DOI 10.1017/9781108333511

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.