Laetud osakesed magnetväljas

Vali osake, seda kiirendanud pinge ning magnetvälja tugevus. See leht arvutab välja osakese trajektoori, relatiivsusest tuleneva tegeliku ringiaja ja näitab, kuidas samad tingimused mõjutavad viit muud osakest.

Magnetjõud: risti nii kiiruse kui ka magnetväljaga	$\vec F=q\,\vec v\times\vec B,\qquad F=\|q\|vB\sin\theta$
Risti homogeense väljaga: ringjoon ja kiirusest sõltumatu tiirlemisaeg	$\begin{gathered}r=\frac{mv}{\|q\|B}\\ T=\frac{2\pi m}{\|q\|B},\qquad f=\frac{\|q\|B}{2\pi m}\end{gathered}$
Valguse kiiruse lähedal: impulss on γmv	$\begin{gathered}p=\gamma mv,\qquad r=\frac{p}{\|q\|B}\\ T=\gamma\,\frac{2\pi m}{\|q\|B}\end{gathered}$

Näidisarvutus — Laetud osakesed magnetväljas

Seisuenergia	938,272 MeV
Kineetiline energia pingest	10,00 keV
Lorentzi tegur γ	1,000011
Kiirus	1,384×10⁶ m/s
Impulss	2,315×10⁻²¹ kg·m/s
Ringjoone raadius	9,633 mm
Ringiaeg relatiivsuseta	43,73 ns
Ringiaeg	43,73 ns

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Laetud osakesed magnetväljas

Magnetväljas B kiirusega v liikuvale laengule q mõjub Lorentzi jõu magnetiline osa, F = q v × B: see on risti nii kiiruse kui ka väljaga ning selle suurus on |q|vB, kui need kaks on omavahel risti. Alati liikumisega risti mõjuv jõud tööd ei tee, mistõttu kiiruse suurus kunagi ei muutu, teisenemas on vaid suund ning trajektooriks kujuneb ringjoon. Selle raadius on r = p/(|q|B), impulss jagatuna laengu ja välja korrutisega, ning ühe tiiru ajaks saadakse T = 2πγm/(|q|B). Valguse kiirusest tunduvalt väiksematel kiirustel on γ paljude komakohtade täpsusega 1 ja tiirlemisaeg ei sõltu kiirusest üldse; selle pöördväärtus |q|B/(2πm) on tsüklotronisagedus.

Mida iga sümbol tähendab

q: osakese laeng kulonites. See on täisarv elementaarlaenguid e = 1,602176634×10⁻¹⁹ C. Laengu märk määrab tiirlemise suuna
B: magnetväli teslades, osakese teekonnal igal pool ühesugune
r: ringjoone raadius. Selle määrab impulss, mitte ainuüksi kiirus või energia
T_0: ringiaeg ilma relatiivsuseta, 2πm/(|q|B)
γ: Lorentzi tegur, 1 + K/(mc²). Tegelik ringiaeg on γT₀

Kust valem tuleb

Jõud. See mõjub kiirusega risti ega tee seetõttu tööd: kiiruse suurus ei muutu kunagi, muutub vaid suund.
$\vec F=q\,\vec v\times\vec B,\qquad\vec F\perp\vec v\ \Rightarrow\ W=0$
Ringjoon. Liikumissuunaga alati risti olev muutumatu jõud on kesktõmbejõud; võrdsustades selle avaldisega mv²/r, saame raadiuse.
$|q|vB=\frac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{mv}{|q|B}$
Tiir. Teepikkus 2πr jagatuna kiirusega v. Raadiuses r sisalduv v taandab nimetajas oleva v.
$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}$
Pinge kaudu. Paigalseisust pinge ΔV läbinud laengu kineetiline energia on |q|ΔV, millest saame kiiruse ja seeläbi raadiuse.
$|q|\,\Delta V=\tfrac12mv^{2}\ \Rightarrow\ r=\frac{\sqrt{2m|q|\,\Delta V}}{|q|B}$
Suur kiirus. Raadiuse määrab impulss γmv ja tiirlemisaja γ korrutatuna klassikalise tiirlemisajaga. Just nendest seostest lähtub tabel igal kiirusel.
$\begin{gathered}p=\gamma mv,\qquad r=\frac{p}{|q|B}\\ T=\gamma\,T_0\end{gathered}$

Eeldab: Väli on ühtlane ja püsiv ning osake liigub sellega täpselt risti. Välja sihiga paralleelset kiiruskomponenti väli ei mõjuta ja siis saaks ringist heeliks. Valitseb vaakum ja miski ei pidurda osakest. Eeldatakse, et osake ei kiirga energiat, kuigi tiirlev laeng seda teeb. Elektroni eelseadistuse korral jääb ühe ringi kiiratud energia alla miljondiku elektronvoldi. Tugevas väljas ja gigaelektronvoltides mõõdetavate energiate juures muutub see aga tõsiseks kadumiks. Seetõttu peavad elektronide sünkrotronid energiat pidevalt juurde andma. Uraani ioonid on ühekordselt laetud aatomid, mille mass võrdub aatommassiga miinus ühe elektroni mass.
Ei kehti, kui: Relatiivsus on sisse ehitatud ja kiire osake ei tee lehte katki. Probleem tekib hoopis magnetiga. Tõeline väli nõrgeneb servade suunas. Tsüklotronis tuleb välja kujundada nii kiire fokuseerimiseks kui ka resonantsi hoidmiseks. Just see oli Rose'i 1938. aasta artikli teema. Töötavas tsüklotronis lisab pilus olev elektriväli energiat iga poole ringi tagant, mistõttu tegelik trajektoor ei ole üksik ring, vaid kasvava raadiusega poolringidest koosnev spiraal. Suur hulk ioone samas kimpus tõukuvad üksteisest eemale ja hajutavad kiirt. See probleem oli piisavalt tõsine, et jõuda William Parkinsi sõjaaegse kalutroni ülevaate pealkirja.

Ülesanded täielikult lahendatud

Kiirendavast pingest ringjooneni 3 sammu
Prootonit kiirendatakse paigalseisust pingega 5,0 kV ning see siseneb risti 0,40 T magnetvälja. Leia prootoni kiirus, ringtrajektoori raadius ja ühe tiiru aeg.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Pinge läbimisel saadud energia on täielikult kineetiline:
  
  $\tfrac12mv^{2}=|q|\,\Delta V\ \Rightarrow\ v=\sqrt{\frac{2|q|\,\Delta V}{m}}=\sqrt{\frac{2\,(1{.}602\times10^{-19})(5{.}0\times10^{3})}{1{.}673\times10^{-27}}}\approx9{.}787\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
2. Magnetjõud toimib kesktõmbejõuna:
  
  $|q|vB=\frac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r=\frac{mv}{|q|B}=\frac{(1{.}673\times10^{-27})(9{.}787\times10^{5})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx25{.}54\ \mathrm{mm}$
3. Ühe tiiru aeg on ringjoone pikkus jagatud kiirusega ning kiirus taandub välja:
  
  $T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi m}{|q|B}=\frac{2\pi\,(1{.}673\times10^{-27})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx164{.}0\ \mathrm{ns}$
Vastus

v = 9,787 × 10⁵ m/s, r = 25,54 mm, T = 164,0 ns. Pingel 5,0 kV liigub prooton kiirusega, mis moodustab vaevalt kolmandiku protsendist valguse kiirusest, ning relatiivsusteooria nihutab neid tulemusi vaid mõne miljondiku võrra.

$v\approx9{.}787\times10^{5}\ \mathrm{m/s},\quad r\approx25{.}54\ \mathrm{mm},\quad T\approx164{.}0\ \mathrm{ns}$
Elektronile mõjuv jõud ja pöördumissuund 3 sammu
Pingega 50 V kiirendatud elektron liigub piki +x-telge välja, mille induktsioon on 0,50 mT piki +z-telge. Leia elektronile sisenemisel mõjuv jõud, ringjoone raadius ja tiirlemise suund +z suunast vaadatuna.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kiirus omandatud energia 50 eV põhjal:
  
  $v=\sqrt{\frac{2e\,\Delta V}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\,(1{.}602\times10^{-19})(50)}{9{.}109\times10^{-31}}}\approx4{.}194\times10^{6}\ \mathrm{m/s}$
2. Suuna annab vektorkorrutis. Kuna x̂ × ẑ = −ŷ ja elektroni laeng on negatiivne, pöördub suund ümber:
  
  $\vec F=q\,\vec v\times\vec B=(-e)\,vB\,(\hat x\times\hat z)=(-e)\,vB\,(-\hat y)=+evB\,\hat y$
3. Jõu suurus ja sellest tulenev raadius:
  
  $F=evB=(1{.}602\times10^{-19})(4{.}194\times10^{6})(5{.}0\times10^{-4})\approx3{.}359\times10^{-16}\ \mathrm{N},\qquad r=\frac{m_ev}{eB}\approx47{.}69\ \mathrm{mm}$
Vastus

F = 3,359 × 10⁻¹⁶ N piki +y-telge; r = 47,69 mm; vastupäeva +z suunast vaadatuna. Samasuguses väljas saaks prooton tõuke piki −y-telge ning liiguks päripäeva. Kõik parema käe reeglid määravad positiivsele laengule mõjuva jõu, seega elektroni puhul tuleb vastus ümber pöörata.

$F\approx3{.}359\times10^{-16}\ \mathrm{N}\ (+y),\qquad r\approx47{.}69\ \mathrm{mm}$
Kolm osakest sama pinge all 3 sammu
Prootonit, deuteronit ja alfaosakest kiirendatakse igaüht pingega 10 kV samasse 1,5 T magnetvälja. Leia iga ringjoone raadius.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Sama pinge läbimisel omandab igaüks energia |q|ΔV, mistõttu impulss on √(2m|q|ΔV) ja raadius sõltub suhtest m/q ruutjuure kaudu:
  
  $r=\frac{\sqrt{2m|q|\,\Delta V}}{|q|B}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m\,\Delta V}{|q|}}$
2. Prooton ja deuteron kannavad kumbki ühte elementaarlaengut e; deuteronil on kaks korda suurem mass:
  
  $r_p=\frac{1}{1{.}5}\sqrt{\frac{2\,(1{.}673\times10^{-27})(1{.}0\times10^{4})}{1{.}602\times10^{-19}}}\approx9{.}633\ \mathrm{mm},\qquad r_d=\sqrt{\frac{m_d}{m_p}}\;r_p\approx13{.}62\ \mathrm{mm}$
3. Alfaosakesel on neli korda suurem mass kui prootonil ja kaks korda suurem laeng, seega peaaegu sama m/q kui deuteronil:
  
  $r_\alpha=\sqrt{\frac{m_\alpha/2e}{m_d/e}}\;r_d=\sqrt{\frac{6{.}645\times10^{-27}}{2\,(3{.}344\times10^{-27})}}\;r_d\approx0{.}9968\,r_d\approx13{.}58\ \mathrm{mm}$
Vastus

9,633 mm, 13,62 mm ja 13,58 mm. Alfaosakese ringjoon on 0,32% väiksem kui deuteronil. Selle suhe m/q jääb deuteroni omale 0,64% alla, sest heeliumituum on seotud 23,8 MeV võrra tugevamini kui kaks deuteronit ning see energia puudub tema massist.

$r_p\approx9{.}633,\quad r_d\approx13{.}62,\quad r_\alpha\approx13{.}58\ \mathrm{mm}$
Kiiruste selektor ja massispektromeeter 3 sammu
Ühekordselt laetud süsinikuioonid läbivad ristuvad väljad E = 1,0 × 10⁵ V/m ja B = 0,20 T suunda muutmata ning teevad seejärel 0,40 T väljas poolringi. Kui kaugele teineteisest langevad süsinik-12 ja süsinik-13?
Näita lahendust
1. Ioon liigub otse vaid siis, kui elektri- ja magnetjõud teineteist tasakaalustavad, mis määrab tema kiiruse sõltumata massist:
  
  $qE=qvB_1\ \Rightarrow\ v=\frac{E}{B_1}=\frac{1{.}0\times10^{5}}{0{.}20}=5{.}0\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
2. Teises väljas liigub kumbki isotoop omaenda ringjoonel:
  
  $r=\frac{mv}{eB_2}:\qquad r_{12}=\frac{(12{.}000\,\mathrm u)(5{.}0\times10^{5})}{(1{.}602\times10^{-19})(0{.}40)}\approx155{.}5\ \mathrm{mm},\qquad r_{13}\approx168{.}5\ \mathrm{mm}$
3. Pärast poolringi jõuab kumbki sisenemiskohast täpselt diameetri kaugusele:
  
  $\Delta x=2\,(r_{13}-r_{12})\approx26{.}0\ \mathrm{mm}$
Vastus

26,0 mm teineteisest. Kui kiirus on esmalt kindlaks määratud, on raadius võrdeline massi enese, mitte selle ruutjuurega (nagu 3. ülesandes); seepärast vastab 8,4% massierinevusele ka 8,4% erinevus raadiuses.

$\Delta x\approx26{.}0\ \mathrm{mm}$
Kiirus nurga all välja suhtes: kruvijoon 4 sammu
Prooton liigub kiirusega 5,0 × 10⁵ m/s 60° nurga all 0,10 T välja suhtes. Leia sellele mõjuv jõud, trajektoori raadius ja vahemaa, mille võrra see nihkub piki välja ühe tiiruga.
Näita lahendust
1. Jõud mõjub vaid väljaga risti olevale kiiruse osale:
  
  $F=|q|vB\sin\theta=(1{.}602\times10^{-19})(5{.}0\times10^{5})(0{.}10)\sin60^{\circ}\approx6{.}938\times10^{-15}\ \mathrm{N}$
2. Lahutame kiiruse väljaga risti ja väljaga piki olevaks komponendiks:
  
  $v_\perp=v\sin60^{\circ}\approx4{.}330\times10^{5},\qquad v_\parallel=v\cos60^{\circ}=2{.}5\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
3. Ristkomponent liigub mööda ringjoont klassikalise tiirlemisajaga:
  
  $r=\frac{mv_\perp}{|q|B}\approx45{.}21\ \mathrm{mm},\qquad T=\frac{2\pi m}{|q|B}\approx655{.}9\ \mathrm{ns}$
4. Pikikomponent jääb puutumata ja viib prootoni iga tiiruga ühe kruvisammu võrra edasi:
  
  $p=v_\parallel T=(2{.}5\times10^{5})(6{.}559\times10^{-7})\approx164{.}0\ \mathrm{mm}$
Vastus

F = 6,938 × 10⁻¹⁵ N, r = 45,21 mm, samm 164,0 mm. Prooton keerdub mööda magnetvälja jõujooni kruvijoonele, tehes ühe tiiru iga 655,9 ns järel, ükskõik millise nurga all.

$F\approx6{.}938\times10^{-15}\ \mathrm{N},\quad r\approx45{.}21\ \mathrm{mm},\quad p\approx164{.}0\ \mathrm{mm}$
Kui mängu tuleb relatiivsusteooria 3 sammu
Elektron kineetilise energiaga 1,0 MeV liigub risti 0,010 T magnetväljaga. Leia tema ringjoone raadius ja ühe tiiru aeg. Vajutage Elektron, 1 MV.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kineetiline energia on ligi kaks korda suurem kui seisuenergia, mistõttu γ erineb ühest märgatavalt:
  
  $\gamma=1+\frac{K}{mc^{2}}=1+\frac{1{.}000}{0{.}5110}\approx2{.}957$
2. Energiast tuletatud impulss, seejärel raadius:
  
  $pc=\sqrt{K^{2}+2Kmc^{2}}=\sqrt{1{.}000^{2}+2\,(1{.}000)(0{.}5110)}\approx1{.}422\ \mathrm{MeV},\qquad r=\frac{p}{eB}\approx474{.}3\ \mathrm{mm}$
3. Tiirlemisaeg on γ korrutatuna aeglase osakese tiirlemisajaga:
  
  $T=\gamma\,\frac{2\pi m_e}{eB}\approx2{.}957\times3{.}572\ \mathrm{ns}\approx10{.}56\ \mathrm{ns}$
Vastus

r = 474,3 mm, T = 10,56 ns. Valemist ½mv² = 1,0 MeV tuleks kiiruseks 5,931 × 10⁸ m/s, peaaegu kaks korda rohkem kui valguse kiirus, ning raadiuseks 337,2 mm.

$r\approx474{.}3\ \mathrm{mm},\qquad T\approx10{.}56\ \mathrm{ns}$
Kui kaugele suudab püsiva sagedusega tsüklotron prootoni kiirendada? 6 sammu
Tsüklotronil on 1,5 T magnet ning 0,5 m raadiusega õõnsad elektroodid ja iga ring annab prootonile 100 keV. Leia vajalik raadiosagedus ja servani jõudva prootoni energia. Uuri välja, kas püsiv sagedus viib osakese nii kaugele. Esimese sammu kontrollimiseks vajuta Prooton, 10 kV.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Sagedus on aeglase prootoni tsüklotronsagedus, mille leht kuvab 10 kV juures:
  
  $f_0=\dfrac{qB}{2\pi m}=\dfrac{1{.}602177\times10^{-19}\times1{.}5}{2\pi\times1{.}672622\times10^{-27}}=22{.}87\ \mathrm{MHz}\qquad T_0=43{.}73\ \mathrm{ns}$
2. Servas on raadius 0,5 m ja seega on impulss qBR. Kujul pc kirjapanduna on see energia:
  
  $pc=qBRc=1{.}602177\times10^{-19}\times1{.}5\times0{.}5\times2{.}997925\times10^{8}\ \mathrm{J}=224{.}84\ \mathrm{MeV}$
3. Kineetiline energia on koguenergia miinus seisuenergia. Relatiivsuse arvestamata jätmine annaks 26,94 MeV, mis on 1,4% liiga palju:
  
  $K=\sqrt{(pc)^2+(mc^2)^2}-mc^2=\sqrt{224{.}84^2+938{.}27^2}-938{.}27=26{.}56\ \mathrm{MeV}\qquad\dfrac{(pc)^2}{2mc^2}=26{.}94\ \mathrm{MeV}$
4. Selle energia juures on γ väärtus 1,028312. Ring servas võtab 2,83% kauem aega kui keskel:
  
  $\gamma=1+\dfrac{26{.}56}{938{.}27}=1{.}028312\quad\Rightarrow\quad T_{\mathrm{rim}}=1{.}028312\,T_0$
5. Iga ringiga 100 keV kogudes vajab prooton sinna jõudmiseks 266 ringi. Ringil k on hilinemine γ − 1 = kΔE/mc² väljendatuna ringiaja osana. Need viivitused liituvad. Servani jõudmise ajaks teeks see kokku 3,78 raadiosageduse täistsüklit:
  
  $n=\dfrac{26{.}56}{0{.}1}\approx266\qquad\sum_{k=1}^{n}\dfrac{k\,\Delta E}{mc^2}=\dfrac{\Delta E}{mc^2}\,\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{0{.}1}{938{.}27}\times\dfrac{266\times267}{2}=3{.}78$
6. Osakest lükatakse edasi vaid siis, kui pilu väli osutab õigesse suunda. See kestab pool iga tsükli ajast. Seega lõppeb energia kogunemine siis, kui hilinemine ulatub poole tsüklini ehk faasini π:
  
  $\dfrac{\Delta E}{mc^2}\,\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac12\ \Rightarrow\ n(n+1)=\dfrac{938{.}27}{0{.}1}=9383\ \Rightarrow\ n=97,\ K=9{.}7\ \mathrm{MeV}\approx\sqrt{mc^2\,\Delta E}=9{.}69\ \mathrm{MeV}$
Vastus

Magnet suudab oma välisserval hoida 26,56 MeV prootonit; muutumatu sagedus lubab osakese kiirendada umbes 9,7 MeV-ni (arvestades 100 keV tiiru kohta), misjärel langeb prooton rütmist välja. Neljakordistades tiiru energia 400 keV-ni, tõuseb lagi kõigest kahekordseks ehk 19,2 MeV-ni, kuna see sõltub suurusest √(mc²·ΔE). See hinnang eeldab igal tiirul täit 100 keV saamist, mis on helde oletus; Rose'i 1938. aasta arvutus profileeritud välja ja elektroodide 50 kV pinge juures jõudis 13,9 MeV-ni ning kinnitas sama ruutjuureseadust. Edasijõudnud masinad võtsid püsisageduse hüljatud teguri γ arvesse kahel viisil: sünkrotsüklotron langetab prootoni energia kasvades sagedust, isokroonne tsüklotron aga kasvatab magnetvälja koos raadiusega, hoides tiirlemise sünkroonis. L. H. Thomas näitas 1938. aastal, et selline ehitus suudab osakestekimpu endiselt fokusseerida.

$K_{\max}\approx\sqrt{mc^2\,\Delta E}:\qquad\Delta E=100\ \mathrm{keV}\Rightarrow9{.}7\ \mathrm{MeV},\qquad\Delta E=400\ \mathrm{keV}\Rightarrow19{.}2\ \mathrm{MeV}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Kui kaua kulub elektronil Maa 50 μT magnetväljas ühe tiiru tegemiseks kiirusel, mis jääb valguse kiirusest kaugele maha?

Näita vastust

714,5 ns, igal sellisel kiirusel.

$T=\frac{2\pi m_e}{eB}\approx714{.}5\ \mathrm{ns}$
Prooton ja deuteron läbivad sama välja samal kiirusel. Milline on nende raadiuste suhe?

Näita vastust

1,999: samal kiirusel sõltub raadius suhtest m/q, mitte selle ruutjuurest.

$\frac{r_d}{r_p}=\frac{m_d}{m_p}\approx1{.}999$
Prooton liigub kiirusega 3,0 × 10⁶ m/s 30° nurga all 0,20 T välja suhtes. Leia sellele mõjuv jõud.

Näita vastust

4,807 × 10⁻¹⁴ N.

$F=|q|vB\sin30^{\circ}\approx4{.}807\times10^{-14}\ \mathrm{N}$
Kiiruste selektoris on E = 2,4 × 10⁴ V/m ja B = 0,060 T. Milline kiirus pääseb otse läbi?

Näita vastust

4,0 × 10⁵ m/s, iga laengu ja massi korral.

$v=\frac{E}{B}=4{.}0\times10^{5}\ \mathrm{m/s}$
Tsüklotronis, mille magnetväli on 1,5 T ja raadius 0,50 m, kiirendatakse deuterone. Millisel sagedusel peab see töötama ja millise energiaga osakesed väljuvad, kui relatiivsusteooriat mitte arvestada?

Näita vastust

11,44 MHz; 13,48 MeV.

$f=\frac{eB}{2\pi m_d}\approx11{.}44\ \mathrm{MHz},\qquad K=\frac{e^{2}B^{2}R^{2}}{2m_d}\approx13{.}48\ \mathrm{MeV}$
Milline väli suunab 10 keV elektronid ringjoonele raadiusega 5,0 cm?

Näita vastust

6,777 mT; ilma relatiivsusteooriata 6,744 mT.

$B=\frac{p}{eR}\approx6{.}777\ \mathrm{mT}$

Kaks korda kiirem, kaks korda suurem ring, ikka seesama 43,73 ns

Vajuta Prooton, 10 kV ja seejärel Prooton, 40 kV. Neli korda suurema energia korral kiirus kahekordistub ning koos sellega ka ringi raadius: 9,633 mm asemel 19,27 mm. Täisring võtab mõlemal juhul 43,73 ns. Kiirus taandub välja: raadius on mv/(qB) ja tiirlemisperiood 2πr/v, seega jääb järele 2πm/(qB), milles v enam ei esine. Sellele taandumisele tugineb Ernest Lawrence'i ja Stanley Livingstoni 1932. aasta artikkel tsüklotronist. Et kiirem prooton ei läbi poolringi lühema ajaga, saab kahe õõneselektroodi vahelisele pilule rakendada ühe kindla sagedusega kõrgsageduspinget. Nii saab prooton iga kord õigel hetkel uue tõuke ja liigub spiraalselt väljapoole. Lawrence ja Livingston tekitasid sel viisil 1,22 MeV prootoneid torus, millele rakendati kõige rohkem 4 000 V. Kolme orbiidiga paneelil tähistavad täpid iga klassikalise tiirlemisperioodi veerandit. Nende energiate juures asuvad kõigi kolme ringi täpid samal neljal kiirel.

20 MeV prooton hilineb 2,132% ning püsiv sagedus ei suuda sellega sammu pidada

Täpne tiirlemisaeg on 2πγm/(|q|B) ning energia kasvades suureneb ka γ. Valikul Prooton, 20 MV on γ = 1,021316, mistõttu vältab iga tiir 43,73 asemel 44,66 ns, samal ajal kui kiirendav raadiosagedus on endiselt häälestatud aeglasele prootonile. Iga tiiruga jõuab prooton kiirenduspilusse pisut hiljem ja see viivitus koguneb, kuni osake saabub hetkel, mil väli on juba valepidi. Elektroni puhul on kasutatav vahemik imetilluke. Seades pingeks 20 kV, pikeneb tiir juba 3,914%; valikul Elektron, 1 MV on γ = 2,956951, mis tähendab aeglase osakesega võrreldes peaaegu kolm korda pikemat tiirlemisaega. Teisel paneelil on kujutatud suhe T ÷ T₀ nelja osakese kohta; iga kõver sööstab üles siis, kui kineetiline energia jõuab mõne protsendini seisuenergiast — elektronil on see mõnikümmend keV, prootonil aga kümneid megaelektronvolte. M. E. Rose arvutas 1938. aastal välja, et 50 kV elektroodipinge ja hoolikalt profileeritud välja korral suudab muutumatu sagedusega tsüklotron viia prootoni energiani 13,9 MeV (keerukama välja abil kuni 14,9). Allpool toodud viimane lahendatud ülesanne hindab seda lage lihtsustatult ning näitab, miks see tõuseb vaid võrdeliselt pinge ruutjuurega.

Uraan-238 on 1,28% raskem ja selle ring vaid 0,638% laiem

Sama pinge läbinud osakesed saavad laenguühiku kohta võrdse energia. Aeglase osakese impulss on √(2mK). Sama laengu korral sõltub raadius seega massi ruutjuurest. Uraan-235, 35 kV tiirleb 1,2145 m raadiusel. Kõrvalasuvas tabelis teeb uraan-238 massiga 238,0502 u (võrreldes 235,0434 u) ringi 1,2223 m raadiusel. Mass on 1,28% suurem, raadius 1,00638 korda laiem. Seadmes, mis painutab kiire poolringi kujuliselt kogujasse, maanduvad kaks isotoopi teineteisest 15,5 mm kaugusel. See vahemaa on kahekordne raadiuste erinevus. Just nii väikese eraldatuse magnet neil seadistustel annabki. Samal meetodil töötasid sõjaaegsed kalutronid uraan-235 eraldamisel.

Õpitee

Kust väljad tulevad

Allikad (3)

The cyclotron paper, and claim 1 in its authors' words: because the radii are proportional to the velocities, the time for a half circle is independent of them. It reports 1.22 MeV protons from a tube with at most 4,000 V applied: E. O. Lawrence and M. S. Livingston, "The Production of High Speed Light Ions Without the Use of High Voltages." Physical Review 40(1), 1932, pp. 19-35. DOI 10.1103/PhysRev.40.19
Why a fixed-frequency cyclotron tops out: the field has to be shaped for focusing and for resonance at once, and with 50 kV on the dees the best fields give protons of 13.9 and 14.9 MeV, with maximum energies rising as the square root of the dee voltage: M. E. Rose, "Focusing and Maximum Energy of Ions in the Cyclotron." Physical Review 53(5), 1938, pp. 392-408. DOI 10.1103/PhysRev.53.392
Separating uranium-235 from uranium-238 with magnets during the Second World War, told by one of the physicists who did it, and the beam-spreading problem that dominated the work: W. E. Parkins, "The Uranium Bomb, the Calutron, and the Space-Charge Problem." Physics Today 58(5), 2005, pp. 45-51. DOI 10.1063/1.1995747

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.