Gaussi seadus ja elektrivoog

Elektrivälja E voog läbi mistahes kinnise pinna võrdub pinnaga piiratud kogulaengu ja konstandi ε₀ jagatisega. See kehtib alati, kuid on enamasti kasutu, sest annab vaid üheainsa arvu terve pinna kohta. Kui laengujaotuses peitub aga sümmeetria, saab valida pinna, mida E läbib täisnurga all ja igas punktis sama tugevusega. Siis piisab välja E leidmiseks ühestainsast algebrareast. Vali sümmeetria, sea paika Gaussi pinna suurus ning loe välja hõlmatud laeng, voog ja elektriväli.

Gaussi seadus: voog läbi mistahes kinnise pinna	$\oint\vec E\cdot d\vec A=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0}$
Voog läbi tasapinna homogeenses väljas	$\Phi=\vec E\cdot\vec A=EA\cos\theta$

Näidisarvutus — Gaussi seadus ja elektrivoog

Hõlmatud laeng	1,25×10⁻⁹ C
Gaussi sfääri pindala	0,03142 m²
Voog läbi pinna	141,2 N·m²/C
Elektriväli pinnal	4494 N/C

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Gaussi seadus ja elektrivoog

Pinna elektrivoog on Φ = ∫E·dA ehk pinnaga ristuva elektrivälja komponendi summa üle kogu pindala. Gaussi seadus ütleb, et mistahes kinnist pinda läbiv voog võrdub pinnaga piiratud kogulaengu ja konstandi ε₀ jagatisega: ∮E·dA = Q_enc/ε₀.

Mida iga sümbol tähendab

dA: pinnaelement vektorina: selle pindala, suunatud kinnisest pinnast väljapoole
Q_enc: kinnise pinnaga piiratud laeng; väljaspool asuv laeng ei anna koguvoogu panust
ε₀: elektriline konstant, 8,854 × 10⁻¹² C²/(N·m²)

Kust valem tuleb

Voog on pinna ristsuunaline väli korrutatud pindalaga. Kui tasapinnaline pindala A asub homogeenses väljas E nurga θ all pinna normaali suhtes, läbib pinda vaid komponent E cos θ.
$\Phi=\int\vec E\cdot d\vec A,\qquad\Phi=EA\cos\theta$
Punktlaengu voog ei sõltu pinnast. Läbi mistahes raadiusega sfääri ümber laengu q on see kq/r² korda 4πr², mis pärast r taandumist annab q/ε₀. Mistahes muu kujuga pinda läbivad needsamad jõujooned ning laengute lisandudes vood liituvad.
$\oint\frac{kq}{r^{2}}\,dA=\frac{kq}{r^{2}}\cdot4\pi r^{2}=4\pi kq=\frac{q}{\varepsilon_0}$
Vali pind nii, et E tuleks integraali ette. Sümmeetria tõttu on E kogu pinnal ühesuguse tugevusega ja risti pinnaga (või pinnaga paralleelne seal, kus voog puudub). Nii taandub voog lihtsalt välja E ja seda läbiva pindala korrutiseks.
$\oint\vec E\cdot d\vec A=E\oint dA=EA$
Kolm põhipinda. Sfäär kerakujulise laengu jaoks; pikkusega L silinder joonlaengu või pika silindri jaoks (selle tasapinnalisi otspindu voog ei läbi); madal silinder tasapinna jaoks (voog läbib vaid kahte otspinda).
$4\pi r^{2},\qquad 2\pi rL,\qquad 2A$
Võrdsusta korrutis E·A suhtega Q_enc/ε₀ ja avalda väli. Tulemuseks on punktlaengu, joonlaengu ja tasapinna tuntud väljad.
$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}},\qquad E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r},\qquad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

Eeldab: Laengud on paigal. Seadus ise kehtib mistahes kinnise pinna ja mistahes laengupaigutuse korral; sümmeetriat vajatakse vaid välja E avaldamiseks. Silinder ja tasapind loetakse lõpmata pikaks ja laiaks; reaalne varras või plaat käitub nii üksnes kaugel oma otstest ja servadest.

Ülesanded täielikult lahendatud

Voog läbi tasapinna 2 sammu
Homogeenne väli tugevusega 2,0 × 10⁴ N/C läbib 20 cm küljega ruutu 60° nurga all ruudu normaali suhtes. Leia ruutu läbiv voog.
1. Pinda läbib vaid välja E normaalisuunaline komponent:
  
  $\Phi=EA\cos\theta$
2. Kuna A = (0,20 m)² = 0,040 m²:
  
  $\Phi=(2{.}0\times10^{4})(0{.}040)\cos60^{\circ}=400\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Vastus

400 N·m²/C. Pööra ruutu nii, et väli libiseks piki pinda (θ = 90°), ja voog kaob täielikult.

$\Phi=400\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Laeng kuubi keskel 2 sammu
Laeng 10 nC asub 20 cm küljega kuubi keskpunktis. Leia voog läbi ühe tahu.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kogu kuupi läbiv voog on q/ε₀, kuju valikust sõltumata:
  
  $\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}=\frac{1{.}0\times10^{-8}}{8{.}854\times10^{-12}}\approx1129\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
2. Sümmeetria tõttu jaguneb see kuue tahu vahel võrdselt:
  
  $\Phi_{1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{q}{\varepsilon_0}\approx188{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Vastus

188,2 N·m²/C tahu kohta; kuubi küljepikkus arvesse ei tule.

$\Phi_{1}=\frac{q}{6\varepsilon_0}\approx188{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Laeng kuubi tipus 2 sammu
Seesama 10 nC laeng asub kuubi tipus. Leia voog läbi iga tahu ja läbi kogu kuubi.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kaheksa sellist tipus kokku puutuvat kuupi ümbritseksid laengu täielikult ja sümmeetria tõttu saab igaüks neist võrdse osa:
  
  $\Phi=\frac{1}{8}\cdot\frac{q}{\varepsilon_0}\approx141{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
2. Kolm tipus kohtuvat tahku kulgevad piki laengu jõujooni, mistõttu neid ei läbi midagi; ülejäänud kolm jagavad kuubi voo võrdselt:
  
  $\Phi_{1}=0,\qquad\Phi_{2}=\frac{1}{3}\cdot\frac{q}{8\varepsilon_0}=\frac{q}{24\varepsilon_0}\approx47{.}06\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Vastus

141,2 N·m²/C läbi kuubi: 47,06 läbi iga kolme kaugema tahu ja mitte midagi läbi kolme lähema.

$\Phi=\frac{q}{8\varepsilon_0}\approx141{.}2\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Laetud kera sees ja väljas 4 sammu
Kera raadiusega 10 cm sisaldab 10 nC ühtlaselt jaotunud laengut. Leia E kaugustel 5 cm ja 20 cm kera keskpunktist.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kera sees hõlmab Gaussi sfäär raadiusega r osa (r/R)³ laengust:
  
  $Q_{\mathrm{enc}}=Q\,\frac{r^{3}}{R^{3}}$
2. Gaussi seadus sellel sfääril:
  
  $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{3}}{\varepsilon_0R^{3}}\ \Rightarrow\ E=\frac{kQr}{R^{3}}$
3. Kohal r = 0,05 m:
  
  $E=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}05)}{(0{.}10)^{3}}\approx4494\ \mathrm{N/C}$
4. Kera välispinnast kaugemal hõlmab sfäär kogu laengu Q ning väli vastab punktlaengule:
  
  $E=\frac{kQ}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}20)^{2}}\approx2247\ \mathrm{N/C}$
Vastus

4 494 N/C kaugusel 5 cm ja 2 247 N/C kaugusel 20 cm. Väli pinnal on 8 988 N/C: poolel raadiusel seespool on see poole väiksem, sest siseväli kasvab võrdeliselt raadiusega r, ning kaks korda kaugemal väljas neli korda nõrgem.

$E(5\ \mathrm{cm})\approx4494\ \mathrm{N/C},\qquad E(20\ \mathrm{cm})\approx2247\ \mathrm{N/C}$
Laeng juhtiva sfäärkihi sees 3 sammu
Laeng 10 nC asub metallist sfäärkihi keskel, mille siseraadius on 10 cm ja välisraadius 15 cm ning mille enda laeng on 5 nC. Leia laeng kihi sise- ja välispinnal ning E kaugustel 5 cm, 12 cm ja 20 cm.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Metalli sees on E = 0, mistõttu metalli jääv Gaussi sfäär ei tohi hõlmata netolaengut. Sisepinnale peab kogunema −q ja ülejäänu siirdub välispinnale:
  
  $Q_{a}=-q=-10\ \mathrm{nC},\qquad Q_{b}=q+Q_s=15\ \mathrm{nC}$
2. Õõnsuses kaugusel 5 cm on hõlmatud vaid q:
  
  $E=\frac{kq}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{(0{.}05)^{2}}\approx3{.}595\times10^{4}\ \mathrm{N/C}$
3. Metallis kaugusel 12 cm on E = 0. Väljas kaugusel 20 cm hõlmab sfäär laengu q + Qs:
  
  $E=\frac{k\,(q+Q_s)}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(1{.}5\times10^{-8})}{(0{.}20)^{2}}\approx3370\ \mathrm{N/C}$
Vastus

−10 nC sisepinnal, 15 nC välispinnal; E = 3,595 × 10⁴ N/C kaugusel 5 cm, 0 kaugusel 12 cm ja 3 370 N/C kaugusel 20 cm.

$E=3{.}595\times10^{4},\ 0,\ 3370\ \mathrm{N/C}$
Laetud varda sees 3 sammu
Pikk silinder raadiusega 10 cm kannab ruumalas ühtlaselt jaotunud laengut 10 nC meetri kohta. Leia E kaugusel 5 cm teljest.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Võtame Gaussi silindri raadiusega r ja pikkusega L. Voog läbib vaid külgpinda ning silinder hõlmab osa (r/R)² selle lõigu laengust:
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\cdot\frac{r^{2}}{R^{2}}$
2. Avaldame E:
  
  $E=\frac{\lambda r}{2\pi\varepsilon_0R^{2}}=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}$
3. Kohal r = 0,05 m:
  
  $E=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})(0{.}05)}{(0{.}10)^{2}}\approx898{.}8\ \mathrm{N/C}$
Vastus

898,8 N/C, mis on neljandik väärtusest 3 595 N/C, mille annaks kaugusel 5 cm sama joontihedusega λ lõpmata peenike joonlaeng.

$E=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}\approx898{.}8\ \mathrm{N/C}$
Koaksiaalkaabel 2 sammu
Koaksiaalkaabli sisejuhtmel raadiusega 2,0 cm on laeng +10 nC meetri kohta ja õhukesel välisjuhil raadiusega 10 cm laeng −10 nC meetri kohta. Leia E kaugustel 5,0 cm ja 15 cm teljest.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Juhtide vahel hõlmab Gaussi silinder vaid sisejuhtme laengu:
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\frac{2k\lambda}{r}=\frac{2\,(8{.}988\times10^{9})(1{.}0\times10^{-8})}{0{.}05}\approx3595\ \mathrm{N/C}$
2. Väljaspool kaablit hõlmab see mõlemad laengud, mis summeerudes annavad nulli:
  
  $E\cdot2\pi rL=\frac{(\lambda-\lambda)L}{\varepsilon_0}=0\ \Rightarrow\ E=0$
Vastus

3 595 N/C kaugusel 5,0 cm ja null kaugusel 15 cm. Juhtide võrdsed vastasmärgilised laengud hoiavad elektrivälja kaabli sees.

$E(5\ \mathrm{cm})\approx3595\ \mathrm{N/C},\qquad E(15\ \mathrm{cm})=0$
Tasapind ja kaks plaati 2 sammu
Leia elektriväli suure tasapinna juures pinnatihedusega 10 nC ruutmeetri kohta ning väli kahe 10 cm kaugusel asuva suure plaadi vahel laengutihedustega +10 ja −10 nC ruutmeetri kohta.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tasapinda läbival madalal silindril on kaks otspinda pindalaga A, millest mõlemast väljub väli E, ning see hõlmab laengu σA:
  
  $2EA=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\ \Rightarrow\ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{1{.}0\times10^{-8}}{2\,(8{.}854\times10^{-12})}\approx564{.}7\ \mathrm{N/C}$
2. Plaatide vahel on mõlema tasapinna väljad samasuunalised – positiivselt negatiivsele – ja liituvad; väljaspool on need vastassuunalised ning nullivad teineteist:
  
  $E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C}$
Vastus

564,7 N/C tasapinna korral; 1 129 N/C plaatide vahel ja väljaspool null. Kumbki väärtus ei sõltu kaugusest plaatideni.

$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C}$
Ebaühtlase laengujaotusega kera 3 sammu
Kera raadiusega R = 10 cm laengutihedus on ρ = ρ₀r/R, kus ρ₀ = 2,0 μC/m³. Leia kera kogulaeng ja E raadiusel r = 5,0 cm.
Näita lahendust
1. Laeng raadiuse r sees, liites kokku õhukesed sfäärkihid pindalaga 4πr′² ja paksusega dr′:
  
  $Q_{\mathrm{enc}}=\int_{0}^{r}\rho_0\frac{r'}{R}\,4\pi r'^{2}\,dr'=\frac{\pi\rho_0r^{4}}{R}$
2. Gaussi seadus sfääril raadiusega r:
  
  $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{\pi\rho_0r^{4}}{\varepsilon_0R}\ \Rightarrow\ E=\frac{\rho_0r^{2}}{4\varepsilon_0R}$
3. Kohal r = 0,050 m, ning kogulaeng kohal r = R:
  
  $E=\frac{(2{.}0\times10^{-6})(0{.}050)^{2}}{4\,(8{.}854\times10^{-12})(0{.}10)}\approx1412\ \mathrm{N/C},\qquad Q=\pi\rho_0R^{3}\approx6{.}283\times10^{-9}\ \mathrm{C}$
Vastus

Q = 6,283 nC; E = 1 412 N/C kaugusel 5,0 cm. Kohal r = R annab kera sisevalem tulemuseks 5 647 N/C, mis langeb täpselt kokku väärtusega kQ/R².

$Q\approx6{.}283\ \mathrm{nC},\qquad E\approx1412\ \mathrm{N/C}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Mistahes kujuga kinnises pinnas asub laeng 3,0 μC. Leia pinda läbiv voog.

Näita vastust

3,388 × 10⁵ N·m²/C.

$\Phi=\frac{q}{\varepsilon_0}\approx3{.}388\times10^{5}\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Homogeenne väli 1 000 N/C on paralleelne 10 cm raadiusega poolsfääri teljega. Leia voog läbi poolsfääri kumerpinna.

Näita vastust

31,42 N·m²/C: samad jõujooned läbivad ka seda sulgevat tasapinnalist ketast pindalaga πR²E.

$\Phi=\pi R^{2}E\approx31{.}42\ \mathrm{N\,m^{2}/C}$
Metallkera raadiusega 5,0 cm kannab laengut 4,0 nC. Leia E kaugustel 3,0 cm ja 10 cm keskpunktist.

Näita vastust

Kaugusel 3,0 cm null (metalli sees), kaugusel 10 cm aga 3 595 N/C.

$E(3\ \mathrm{cm})=0,\qquad E(10\ \mathrm{cm})=\frac{kQ}{r^{2}}\approx3595\ \mathrm{N/C}$
Pikk silinder raadiusega 2,0 cm kannab ruumalas ühtlaselt jaotunud laengut 5,0 nC meetri kohta. Leia E kaugustel 1,0 cm ja 4,0 cm teljest.

Näita vastust

Mõlemal kaugusel 2 247 N/C: seespool annab pool raadiust poole pinnale vastavast väljast, väljaspool annab kahekordne raadius samuti poole.

$E=\frac{2k\lambda r}{R^{2}}=\frac{2k\lambda}{r'}\approx2247\ \mathrm{N/C}$
Suur 4,0 cm paksune kiht kannab ühtlast laengut tihedusega ρ = 1,0 μC/m³. Leia E kaugusel 1,0 cm keskpinna suhtes ning väljaspool kihti.

Näita vastust

Kaugusel 1,0 cm on väli 1 129 N/C; väljaspool igal pool 2 259 N/C.

$E=\frac{\rho x}{\varepsilon_0}\approx1129\ \mathrm{N/C},\qquad E=\frac{\rho a}{\varepsilon_0}\approx2259\ \mathrm{N/C}$
Punktlaeng q asub kuubi ühe tahu keskpunktis. Leia voog läbi kuubi.

Näita vastust

q/(2ε₀): teisele poole tahku lisatud samasugune kuup võtaks teise poole.

$\Phi=\frac{q}{2\varepsilon_0}$

Väljastpoolt vaadates on laetud kera ja punktlaeng eristamatud

Klõpsa nupul Laetud kera ja lohista Gaussi sfäär kera pinnast välja, kaugemale kui R = 10 cm. Pinnast väljaspool järgib väli täpselt seost kQ/r², mis vastab kõigi 10 nC koondumisele keskpunkti. Kerast väljapoole jääv sfäär raadiusega r hõlmab kogu laengu Q, paiknegu selle osad kuidas tahes, ning sümmeetria jaotab voo ühtlaselt üle pindala 4πr². Sfäärkihile lülitudes kordub väljaspool täpselt sama kõver. Kogu erinevus peitub seespool. Sfäärkihi sees on väli igal pool null, kera sees aga kasvab sirgjooneliselt seose E = kQr/R³ järgi: keskpunkti nullist kuni suurima väärtuseni 8 988 N/C kera pinnal. Kera sees hõlmab Gaussi sfäär vaid murdosa (r/R)³ laengust ja jaotab selle üle pindala, mis kasvab võrdeliselt ruuduga r², jättes alles r esimeses astmes.

Vii laeng tippu ja kuupi läbib vaid kaheksandik koguvoost

Klõpsa nupul Laeng kuubi keskel: iga tahku läbib 188,2 N·m²/C ehk kuuendik koguväärtusest q/ε₀ = 1 129 N·m²/C. Nihuta liugurit t tipu poole. Kolm lähemat tahku saavad voogu juurde ja kolm kaugemat kaotavad, kuid kogusumma püsib väärtusel 1 129 kuni viimase sammuni. Kui t = 0,99, läbib iga lähemat tahku 328,8 ja iga kaugemat 47,7 N·m²/C. Tipus eneses ei läbi lähedasi tahke midagi, sest väli kulgeb piki neid, ja iga kauge tahk kannab 47,06 N·m²/C – kahekümne neljandiku väärtusest q/ε₀. Selles tipus puutuvad kokku kaheksa kuupi, mis jagaksid voo võrdselt. Tipust väljaspool on koguvoog null: kolmest tahust siseneb täpselt sama palju voogu, kui ülejäänud kolmest väljub.

Laetud sfäärkihi tühi sisemus paneb Coulombi seaduse rangeimale proovile

Klõpsa nupul Laetud sfäärkiht: seespool on väli igal raadiusel null. Gaussi seadus annab selle tulemuse ühe reaga, kuid üksnes seetõttu, et Coulombi jõud kahaneb täpselt võrdeliselt suhtega 1/r². Kui seos oleks 1/r^(2 + q) mistahes nullist erineva q korral, ei tasakaalustaks sfääri lähem külg enam kaugemat ning sisse tekiks väli. Nulltulemus sfääri sees on seega parameetri q otsene mõõtmine. Aastal 1936 rakendasid Plimpton ja Lawton välimisele metallkerale üle 3 000 V vahelduvpinget ning otsisid umbes 10⁻⁶ V tundlikkusega detektoriga potentsiaalide vahet selle ja sisesfääri vahel. Seda ei leitud, mis näitas, et q jääb alla 2 × 10⁻⁹. Williamsi, Falleri ja Hilli 1971. aasta kõrgsageduslik katse andis tulemuseks q = (2,7 ± 3,1) × 10⁻¹⁶.

Õpitee

Kust väljad tulevad

Allikad (4)

Gauss's law and flux: the flux through a closed surface is the same “regardless of the shape or size of the surface, as long as the surface encloses the same amount of charge”, and a charge outside contributes zero: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 6.2, “Explaining Gauss's Law”.
The symmetric cases worked as here: a uniformly charged sphere inside and out (Example 6.6, E growing linearly inside), a non-uniformly charged sphere (6.7), a cylindrical shell (6.8), and the infinite plane σ/(2ε₀): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 6.3, “Applying Gauss's Law”.
Insight block 3: concentric metal globes, an alternating potential above 3,000 V on the outer one, a detector inside sensitive to about 10⁻⁶ V, and the exponent 2 confirmed to within 2 × 10⁻⁹: S. J. Plimpton and W. E. Lawton, “A Very Accurate Test of Coulomb's Law of Force Between Charges”, Physical Review 50(11), 1936, pp. 1066-1071. DOI 10.1103/PhysRev.50.1066
Insight block 3: the 1971 high-frequency test, q = (2.7 ± 3.1) × 10⁻¹⁶ for a force of the form 1/r^(2+q): E. R. Williams, J. E. Faller and H. A. Hill, “New Experimental Test of Coulomb's Law: A Laboratory Upper Limit on the Photon Rest Mass”, Physical Review Letters 26(12), 1971, pp. 721-724. DOI 10.1103/PhysRevLett.26.721

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.