Elektrivälja visualiseerija

Paiguta laenguid ja jälgi, kuidas elektrivälja jooned ja ekvipotentsiaalijooned reaalajas tekivad.

Coulomb'i seadus: samanimelised laengud tõukuvad, erinimelised tõmbuvad	$\begin{gathered}F=\frac{k\|q_1q_2\|}{r^{2}}\\ k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{.}988\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}\end{gathered}$
Elektriväli: jõud ühiklaengu kohta, liitub vektoritena	$\vec E=\frac{\vec F}{q_0}=\sum_i\frac{kq_i}{r_i^{2}}\,\hat r_i$
Potentsiaal ja energia: liituvad tavaliste arvudena	$\begin{gathered}V=\sum_i\frac{kq_i}{r_i},\qquad W=q\,\Delta V\\ U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}\end{gathered}$

Näidisarvutus — Elektrivälja visualiseerija

Laengu q1 väli punktis P	0,25
Summaarne laeng	1
Resultantväli punktis P	0,25
Selle suund +x-telje suhtes	0°
Potentsiaal punktis P	0,5

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Elektrivälja visualiseerija

Elektrivälja tugevus mingis punktis on jõud, mida kogeks seal asuv väike positiivne proovilaeng, jagatuna selle laengu suurusega: E = F/q₀. Punktlaeng q tekitab välja tugevusega k|q|/r², mis on suunatud laengust eemale, kui q on positiivne, ja laengu poole, kui q on negatiivne. Mitme laengu väljad liituvad vektoritena.

Mida iga sümbol tähendab

k: Coulomb'i konstant, 1/(4πε₀) = 8,988 × 10⁹ N·m²/C²
r_i: kaugus laengust i punktini P
ê_i: laengu i välja suund punktis P ehk ühikvektor pikkusega 1: suunatud laengust punkti P poole, kui q_i on positiivne, ja punktist P laengu poole, kui see on negatiivne

Kust valem tuleb

Coulomb'i seadus. Kaks punktlaengut tõukuvad või tõmbuvad piki neid ühendavat sirget jõuga, mis kahaneb pöördvõrdeliselt kauguse ruuduga.
$F=\frac{k|q_1q_2|}{r^{2}}$
Taanda proovilaeng välja. Järele jääb vaid allikale omane osa. See ongi väli, ja see on punktis P olemas ka siis, kui seal pole ainsatki laengut seda tundmas.
$E=\frac{F}{q_0}=\frac{k|q|}{r^{2}},\qquad\vec F=q_0\vec E$
Liida väljad komponentide kaupa. Iga laeng annab panuse, mis võrdub tema väljatugevuse E_i ja suunavektori ê_i korrutisega; roheline nool punktis P on nende summa.
$\begin{gathered}E_x=\sum_i E_i\,\hat e_{i,x},\quad E_y=\sum_i E_i\,\hat e_{i,y}\\ |\vec E|=\sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}}\end{gathered}$
Liida potentsiaalid tavaliste arvudena. Potentsiaal V säilitab iga laengu märgi ja sellel puudub suund, mistõttu ruumiline asetus midagi ei taanda. Väli on suunatud sinna, kus V kahaneb kõige kiiremini, lõigates risti katkendlikke ekvipotentsiaalpindu.
$V=\sum_i\frac{kq_i}{r_i},\qquad\vec E=-\nabla V$
Energia. Laengu q nihutamiseks punktist A punkti B tuleb teha tööd q(V_B − V_A), seda mis tahes teed mööda. Kogu süsteemi kokkupanekuks kaugusest tuleb liita üks liige iga laengupaari kohta.
$W=q\,(V_B-V_A),\qquad U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}$

Eeldab: Laengud on paigal ja piisavalt väikesed, et neid punktlaengutena käsitleda. Pilt kujutab küll tasapinnalist läbilõiget laengutest, ent laengud ise on tavalised ruumilised punktlaengud: nende väli kahaneb seaduspärasusega 1/r² ja potentsiaal seaduspärasusega 1/r.

Ülesanded täielikult lahendatud

Ühe laengu väli ja selle tekitatud jõud 3 sammu
Koordinaatide alguspunktis asub laeng +4,0 μC. Leia elektrivälja tugevus punktis P = (2,0 m; 0) ning punkti P asetatud laengule −2,0 μC mõjuv jõud.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Väljatugevuse saame Coulomb'i seadusest, kui jagame proovilaengu välja:
  
  $E=\frac{k|q|}{r^{2}}=\frac{(8{.}988\times10^{9})(4{.}0\times10^{-6})}{(2{.}0)^{2}}\approx8988\ \mathrm{N/C}$
2. Positiivse laengu väli on suunatud laengust eemale, piki laengut ja punkti P ühendavat sirget:
  
  $\hat e=+\frac{(2{.}0,\,0)}{2{.}0}=(1,\,0)$
3. Punktis P asuvale laengule mõjuv jõud võrdub selle laengu ja väljatugevuse korrutisega. Negatiivsele laengule mõjub jõud väljale vastassuunas:
  
  $\vec F=q_0\vec E=(-2{.}0\times10^{-6})(8988)\,\hat x\approx-1{.}798\times10^{-2}\,\hat x\ \mathrm{N}$
Vastus

E = 8 988 N/C piki +x-telge; F = 1,798 × 10⁻² N piki −x-telge. Väli punktis P sõltub üksnes 4,0 μC laengust: aseta punkti P teine laeng ja jõud muutub, väli aga mitte.

$E\approx8988\ \mathrm{N/C}\ (+x),\qquad F\approx1{.}798\times10^{-2}\ \mathrm{N}\ (-x)$
Kaks laengut sirgel 4 sammu
Laeng +2,0 μC asub kohal x = 0 ja laeng −3,0 μC kohal x = 4,0 m. Leia elektrivälja tugevus punktides x = 1,0 m ja x = −2,0 m.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kummagi laengu tekitatud väljatugevus punktis x = 1,0 m, kus kaugused on 1,0 m ja 3,0 m:
  
  $E_1=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(1{.}0)^{2}}\approx1{.}798\times10^{4},\qquad E_2=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(3{.}0)^{2}}\approx2996\ \mathrm{N/C}$
2. Laengute vahel on mõlemad väljad samasuunalised — positiivsest laengust eemale ja negatiivse poole, seega piki +x-telge. Need liituvad:
  
  $x=1{.}0:\quad E=E_1+E_2\approx1{.}798\times10^{4}+2996\approx2{.}097\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\ (+x)$
3. Punktis x = −2,0 m, mis jääb mõlemast laengust vasakule, on positiivse laengu väli suunatud temast eemale (−x) ja negatiivse laengu väli tema poole (+x):
  
  $x=-2{.}0:\quad E_1=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(2{.}0)^{2}}\approx4494\ (-x),\qquad E_2=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(6{.}0)^{2}}\approx749{.}0\ (+x)$
4. Vastassuunalised väljad lahutuvad ning suurem määrab suuna:
  
  $E\approx4494-749{.}0\approx3745\ \mathrm{N/C}\ (-x)$
Vastus

2,097 × 10⁴ N/C piki +x-telge kohal x = 1,0 m; 3 745 N/C piki −x-telge kohal x = −2,0 m. Kahe erinimelise laengu vahel väljad alati liituvad. Need mõjuvad teineteisele vastu vaid väljaspool laenguid, mistõttu saab väli nulliks muutuda üksnes seal (4. ülesanne).

$E(1{.}0)\approx2{.}097\times10^{4}\ \mathrm{N/C}\ (+x),\qquad E(-2{.}0)\approx3745\ \mathrm{N/C}\ (-x)$
Punkt väljaspool sirget: liitmine komponentide kaupa 4 sammu
Laeng +3,0 μC asub koordinaatide alguspunktis ja laeng −2,0 μC punktis (0; 3,0 m). Leia elektrivälja tugevus ja suund punktis P = (4,0 m; 0).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Positiivne laeng asub piki x-telge 4,0 m kaugusel ning tema väli punktis P on suunatud temast eemale, piki +x-telge:
  
  $r_1=4{.}0,\quad E_1=\frac{k\,(3{.}0\times10^{-6})}{(4{.}0)^{2}}\approx1685\ \mathrm{N/C},\quad\hat e_1=(1,\,0)$
2. Negatiivne laeng asub 5,0 m kaugusel ehk 3–4–5 kolmnurga pikemal küljel. Selle väli on suunatud punktist P tagasi laengu poole. Kuna ühikvektor laengust punkti P on (4, −3)/5, on välja suund selle vastand:
  
  $r_2=\sqrt{4{.}0^{2}+3{.}0^{2}}=5{.}0,\quad E_2=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(5{.}0)^{2}}\approx719{.}0\ \mathrm{N/C},\quad\hat e_2=-\frac{(4,\,-3)}{5}=(-0{.}8,\,0{.}6)$
3. Liida komponendid, mitte mingil juhul moodulid:
  
  $E_x=1685-0{.}8\,(719{.}0)\approx1110,\qquad E_y=0{.}6\,(719{.}0)\approx431{.}4\ \mathrm{N/C}$
4. Seejärel arvuta välja kogutugevus ja nurk. E_x on positiivne, seega annab arkustangens nurga otse:
  
  $|\vec E|=\sqrt{1110^{2}+431{.}4^{2}}\approx1191\ \mathrm{N/C},\qquad\theta=\tan^{-1}\frac{431{.}4}{1110}\approx21{.}24^{\circ}$
Vastus

1 191 N/C nurga 21,24° all +x-teljest kõrgemal. Moodulite liitmisel saaksime 2 404 N/C ehk kaks korda suurema tulemuse, sest kahe välja suundade vahe on 143°.

$|\vec E|\approx1191\ \mathrm{N/C},\qquad\theta\approx21{.}24^{\circ}$
Kus väli on null 4 sammu
Laeng +4,0 μC asub kohal x = 0 ja laeng −1,0 μC kohal x = 3,0 m. Kus x-teljel (kui väga kauged punktid välja arvata) on elektrivälja tugevus null?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kaks välja tühistavad teineteist vaid seal, kus nad on vastassuunalised. Erinimeliste laengute vahel on väljad samasuunalised (2. ülesanne), mistõttu peab see punkt asuma väljaspool, väiksema laengu pool, kus lähemal asumine saab korvata laengu väiksust. Seal peavad väljade tugevused olema võrdsed:
  
  $\frac{k\,(4{.}0)}{x^{2}}=\frac{k\,(1{.}0)}{(x-3{.}0)^{2}}$
2. Taanda k ja võta mõlemalt poolelt ruutjuur:
  
  $\frac{x^{2}}{(x-3{.}0)^{2}}=4\ \Rightarrow\ \frac{x}{x-3{.}0}=\pm2$
3. Kumbki märk annab võimaliku lahendi. Kohal x = 2,0 m laengute vahel on väljade tugevused küll võrdsed, kuid mõlemad on suunatud piki +x-telge ning liituvad; see lahend langeb välja:
  
  $x=-2\,(x-3{.}0)\ \Rightarrow\ x=2{.}0,\qquad x=2\,(x-3{.}0)\ \Rightarrow\ x=6{.}0$
4. Kohal x = 6,0 m on mõlemad väljad võrdse tugevusega ja vastassuunalised:
  
  $x=6{.}0:\quad\frac{k\,(4{.}0\times10^{-6})}{(6{.}0)^{2}}\approx998{.}6\ (+x),\qquad\frac{k\,(1{.}0\times10^{-6})}{(3{.}0)^{2}}\approx998{.}6\ (-x)$
Vastus

x = 6,0 m, mis on 3,0 m kaugusel laengust −1,0 μC. Väljatugevuste võrdsustamine leiab ka punkti, kus moodulid küll klapivad, ent suunad mitte — ja ainult suundi kontrollides saab selle lahendi kõrvale heita.

$x=6{.}0\ \mathrm{m}$
Jõud ühele kolmest laengust 3 sammu
Laengud +2,0 μC asuvad punktides (−3,0 m; 0) ja (3,0 m; 0) ning kolmas laeng +1,0 μC punktis (0; 4,0 m). Leia kolmandale laengule mõjuv resultantjõud.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Leiame välja, mida ülejäänud kaks laengut tekitavad kolmanda asukohas. Mõlemad asuvad 5,0 m kaugusel:
  
  $r=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}0^{2}}=5{.}0,\qquad E_1=E_2=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{(5{.}0)^{2}}\approx719{.}0\ \mathrm{N/C}$
2. Sümmeetria tõttu x-komponendid taanduvad ja y-komponendid liituvad:
  
  $\hat e_1=\frac{(3,\,4)}{5},\quad\hat e_2=\frac{(-3,\,4)}{5}\ \Rightarrow\ E_x=0,\quad E_y=2\,(0{.}8)(719{.}0)\approx1150\ \mathrm{N/C}$
3. Kolmandale laengule mõjuv jõud võrdub selle laengu ja tekitatud välja korrutisega, suunatud piki +y-telge laengupaarist eemale:
  
  $F=q_3E=(1{.}0\times10^{-6})(1150)\approx1{.}15\times10^{-3}\ \mathrm{N}$
Vastus

1,15 × 10⁻³ N piki +y-telge. Kolmandat laengut ennast tema asukoha välja arvutamisel ei arvestata: iga laengu väli mõjub kõigile teistele laengutele, mitte kunagi aga talle endale.

$\vec F\approx1{.}15\times10^{-3}\ \mathrm{N}\ (+y)$
Potentsiaal ja laengu nihutamiseks tehtav töö 3 sammu
5. ülesande kaks +2,0 μC laengut jäävad paigale ning laeng +1,0 μC viiakse punktist A = (0; 4,0 m) alguspunkti B. Kui palju tööd teeb liigutaja?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Potentsiaal on suundadeta lihtsumma. Punktis A asuvad mõlemad laengud 5,0 m kaugusel:
  
  $V_A=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{5{.}0}+\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{5{.}0}\approx7190\ \mathrm{V}$
2. Punktis B asuvad mõlemad 3,0 m kaugusel:
  
  $V_B=\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{3{.}0}+\frac{k\,(2{.}0\times10^{-6})}{3{.}0}\approx1{.}198\times10^{4}\ \mathrm{V}$
3. Välja vastu tehtav töö võrdub laengu ja potentsiaali kasvu korrutisega, sõltumata valitud teest:
  
  $W=q\,(V_B-V_A)\approx(1{.}0\times10^{-6})(11983-7190)\approx4{.}793\times10^{-3}\ \mathrm{J}$
Vastus

4,793 × 10⁻³ J. Punktis B on väli null, sest kahe laengu tõuked seal tasakaalustuvad, kuid sinna jõudmiseks tehtav töö pole null. Töö järgib potentsiaali, mis kasvab kogu teekonnal punktist A punkti B, mitte välja tugevust lõpp-punktis.

$W\approx4{.}793\times10^{-3}\ \mathrm{J}$
Laengusüsteemi energia 3 sammu
Laengud +3,0 μC alguspunktis, −2,0 μC punktis (0; 3,0 m) ja +1,0 μC punktis (4,0 m; 0) tuuakse kokku lõpmatusest. Kui palju tööd selleks tehti?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Toome laengud kohale ükshaaval. Esimese toomine ei nõua tööd; iga järgmise puhul võrdub töö tema laengu ja varasemate laengute tekitatud potentsiaali korrutisega tema saabumiskohas. Kokkuvõttes esineb iga paar summas ühe korra:
  
  $U=\sum_{i<j}\frac{kq_iq_j}{r_{ij}}=k\Bigl(\frac{q_1q_2}{r_{12}}+\frac{q_1q_3}{r_{13}}+\frac{q_2q_3}{r_{23}}\Bigr)$
2. Need kolm kaugust:
  
  $r_{12}=3{.}0,\qquad r_{13}=4{.}0,\qquad r_{23}=\sqrt{3{.}0^{2}+4{.}0^{2}}=5{.}0$
3. Iga paar säilitab oma märgid:
  
  $U=(8{.}988\times10^{9})\Bigl(\frac{(3)(-2)}{3}+\frac{(3)(1)}{4}+\frac{(-2)(1)}{5}\Bigr)\times10^{-12}=(8{.}988\times10^{-3})(-1{.}65)\approx-1{.}483\times10^{-2}\ \mathrm{J}$
Vastus

−1,483 × 10⁻² J. Negatiivne tulemus näitab, et kaks tõmbuvat paari kaaluvad üles ühe tõukuva paari, mistõttu tegi töö väli ise. Nende kolme laengu uuesti lahtiviimine nõuaks 1,483 × 10⁻² J tööd.

$U\approx-1{.}483\times10^{-2}\ \mathrm{J}$
Dipooli paigutus kahe laenguga, mille vahekaugus on 4 ühikut 6 sammu
Kaks võrdse suurusega ja vastasmärgiga laengut asuvad teineteisest 4 ühiku kaugusel. Leidke väli ja potentsiaal nende keskpunktis, seejärel leidke, kuidas väli käitub kaugel. See on paigutus Dipool: q₁ = +1 punktis (-2, 0), q₂ = -1 punktis (+2, 0), kus sond asub koordinaatide alguspunktis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Superpositsioon on kogu elektrostaatika alus: iga laeng tekitab oma välja nii, nagu teist ei olekski, ning vektorid liidetakse. Vektor, mis loeb, suundub laengu juurest sondi juurde, mis võimaldabki q märgil otsustada, kas väli suundub laengust eemale või tagasi sellesse.
  
  $\vec E(\vec p)=\sum_i q_i\,\frac{\vec p-\vec x_i}{|\vec p-\vec x_i|^{3}}, \qquad \vec p=(0,0)$
2. Positiivne laeng asub 2 ühikut vasakul, seega selle vektor sondini suundub 2 ühikut paremale ning 2 kuup nimetajas annab tulemuseks 0,250. Positiivne laeng, väljapoole suunatud väli: see panus suundub paremale.
  
  $q_1=+1,\ \vec x_1=(-2,0):\quad \vec r_1=(2,\,0),\ r_1=2, \quad \vec E_1=\frac{+1\cdot(2,0)}{2^{3}}=(0{.}25,\,0)$
3. Negatiivne laeng asub 2 ühikut paremal, seega selle vektor suundub vasakule — ja q on negatiivne, mis pöörab selle uuesti ümber. Kaks ümberpööramist, ja ka see panus suundub paremale. Tee siinkohal paus: laengud asuvad sondi suhtes vastaspooltel ja on vastasmärkidega ning need kaks vastandlikkust tühistavad teineteise selle asemel, et võimenduda.
  
  $q_2=-1,\ \vec x_2=(2,0):\quad \vec r_2=(-2,\,0),\ r_2=2, \quad \vec E_2=\frac{-1\cdot(-2,0)}{2^{3}}=(0{.}25,\,0)$
4. Seega liituvad need kaks panust vastutöötamise asemel järjestikku ning paar annab tulemuseks 0,500 seal, kus kumbki laeng eraldi annaks 0,250.
  
  $\vec E=\vec E_1+\vec E_2=(0{.}5,\,0),\qquad |\vec E|=0{.}5$
5. Potentsiaal teeb samade laengute puhul vastupidist. V on skalaar, seega kannab see vaid q märki ega midagi muud, ning mõlemad kaugused on võrdsed — liikmed on +0,500 ja -0,500 ning keskpunktis on V = 0. Väli ja potentsiaal ei ole ühe ning sama suuruse kaks eri näitu: siin üks kahekordistub ja teine kaob samas punktis.
  
  $V=\sum_i\frac{q_i}{r_i}=\frac{+1}{2}+\frac{-1}{2} =0{.}5-0{.}5=0$
6. Nüüd liigume keskpunktist eemale. Asetage sond kõrgusele y keskristsirgel, kus mõlemad laengud on samal kaugusel. Vertikaalsed komponendid tühistuvad sümmeetria tõttu ja horisontaalsed jäävad alles, andes ühe valemi kogu sirge jaoks. Asendage selles y = 0 ja see peab taastama väärtuse, mis teil juba olemas on — ja see teebki seda, mis näitab, et valem kirjeldab sama füüsikat, mitte uut.
  
  $\vec p=(0,y):\quad E_y=0,\qquad E_x=\frac{2qa}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}},\ a=2;\qquad y=0:\ \frac{4}{8}=0{.}5$
Vastus

Tööriist kuvab koordinaatide alguspunktis |E| = 0,5, mis koosneb kahest samas suunas osutavast panusest 0,25, ning V = 0 samas punktis. Samm 6 on see, mida tasub meeles pidada. Kaugemal tühistavad kaks 1/r² välja teineteist peaaegu täielikult ning allesjäänu määrab laengute vahekaugus ja see kahaneb kui 1/y³ — terve astme võrra kiiremini kui üksiklaengu puhul. Suhe on 2a/y = 4/y, seega väärtusel y = 20 suudab see paar anda vaid veidi alla viiendiku sellest, mida üksik sama suur laeng seal tekitaks. Põhjus on kuvatud üks rida väljast kõrgemal: Q_total = 0. Liige 1/r² kuulub kogulaengule ja kui see on null, on vahekaugus ainus asi, mida tunda on. Neutraalne paar ei ole nähtamatu — see on lühikese mõjuraadiusega, ja need on kaks eri asja.

$y\gg a:\ \ E_x\to\frac{2qa}{y^{3}}=\frac{4}{y^{3}}, \qquad \frac{E_x}{q/y^{2}}=\frac{2a}{y}=\frac{4}{y};\qquad y=20:\ 0.2$
Kaks identset positiivset laengut 3 ühiku kaugusel 5 sammu
Kaks identset positiivset laengut asuvad teineteisest 3 ühiku kaugusel. Leidke väli ja potentsiaal nende keskpunktis, seejärel otsustage, kas sinna vabastatud positiivne proovilaeng jääks paigale. See on paigutus Kaks +: q₁ = +1 punktis (-1,5, 0), q₂ = +1 punktis (+1,5, 0), sond koordinaatide alguspunktis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Sama sond, sama superpositsioon, vastupidine tulemus. Mõlemad laengud on koordinaatide alguspunktist kaugusel 1,500 ja mõlemad on positiivsed, seega on need kaks panust sama suurusega ja osutavad täpselt vastassuundadesse. Need tühistavad teineteise ning väli keskpunktis on 0.
  
  $\vec E_1=\frac{(1{.}5,\,0)}{1{.}5^{3}}=(0{.}444,\,0),\quad \vec E_2=\frac{(-1{.}5,\,0)}{1{.}5^{3}}=(-0{.}444,\,0) \ \Longrightarrow\ |\vec E|=0$
2. Potentsiaal ei saa tühistuda, sest skalaaril puudub suund, milles tühistuda. Mõlemad liikmed on +0,667 ja V on 1,333. Punkt, kus E = 0, kuid V ≠ 0, ei ole paradoks: E on V tõus ning nulltõus ei ütle kõrguse kohta midagi.
  
  $V=\frac{1}{1{.}5}+\frac{1}{1{.}5}=0{.}667+0{.}667=1{.}333$
3. Nulltõus on mäetipp, org või kurus ning vaid üks neist kolmest hoiab palli paigal. Nihutage proovilaengut kauguse x võrra piki laenguid ühendavat sirget. Lähem laeng tõukab nüüd tugevamini kui kaugem, erinevus osutab tagasi koordinaatide alguspunkti ning taastav jäikus on 4q/a³ = 1,1852.
  
  $E_x(x,0)=\frac{q}{(a+x)^{2}}-\frac{q}{(a-x)^{2}} =\frac{-4qax}{(a^{2}-x^{2})^{2}}\ \approx\ -\frac{4q}{a^{3}}\,x=-1.1852\,x$
4. Nihutage seda selle asemel risti. Nüüd on mõlemad laengud selle taga, mõlemad tõukavad samas suunas ja see liigub edasi. Samad kaks laengut, sama sond, vastupidine otsus — ning eemale tõukav jäikus on 2q/a³ = 0,5926, täpselt poole väiksem kui taastav jäikus.
  
  $E_y(0,y)=\frac{2qy}{(a^{2}+y^{2})^{3/2}} \ \approx\ +\frac{2q}{a^{3}}\,y=+0.5926\,y,\qquad E_z\approx+0.5926\,z$
5. Tasandist väljumine on taas ristsuunaline juhtum, sest kaks punkti ei erista oma telje ümber ühte suunda teisest. Seega on kolm jäikust, üks negatiivne ja kaks positiivset, ning nende summa on null. Mitte peaaegu null.
Vastus

Tööriist annab tulemuseks |E| = 0 kahe teineteist taandava panuse 0,444 arvel ning V = 1,333 kahe panuse 0,667 arvel, mis ei taandu. See nullpunkt on sadul, mitte org: stabiilne piki laenguid ühendavat sirget, ent ebastabiilne ristsuunas. Asi polnud kunagi laengute paigutuse valikus. Kolm jäikust on potentsiaali V kolm teist järku tuletist miinusmärgiga ning nende summa on E divergents — see aga on null kõikjal, kus laengut pole. Seega tuleb iga suund, mis tõmbab proovilaengut tagasi, kinni maksta suundadega, mis lükkavad seda eemale. Ükski paigalseisvate laengute süsteem ei suuda hoida teist laengut stabiilses tasakaalus, ükskõik kui osavalt see ka poleks korraldatud. See ongi Earnshaw' teoreem, ja sa tuletasid selle äsja kolmest arvust, mille lähteandmed kuvas ekraanile tööriist. Laetud osakest paigal hoidev lõks vajab järelikult enamat kui staatilist elektrivälja: Penningi lõks lisab magnetvälja, Pauli lõks paneb elektrivälja võnkuma.

$\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z}=-\frac{4q}{a^{3}}+\frac{2q}{a^{3}}+\frac{2q}{a^{3}} =-1.1852+0.5926+0.5926=0$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia elektrivälja tugevus ja suund 30 cm kaugusel laengust −4,0 nC.

Näita vastust

399,4 N/C, suunatud laengu poole.

$E=\frac{k|q|}{r^{2}}\approx399{.}4\ \mathrm{N/C}$
Laengud +4,0 μC punktis x = 0 ja +1,0 μC punktis x = 3,0 m. Kus nende vahel on elektrivälja tugevus null?

Näita vastust

x = 2,0 m.

$x=2{.}0\ \mathrm{m}$
Laengud +1,0 μC asuvad punktides (−1,0 m; 0) ja (1,0 m; 0). Leia välja tugevus punktis (0; 1,0 m).

Näita vastust

6 355 N/C piki +y-telge.

$E=2\cdot\frac{k\,(1{.}0\times10^{-6})}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}\approx6355\ \mathrm{N/C}\ (+y)$
Ruudu (küljepikkusega 2,0 m) kolmes nurgas on laeng +1,0 μC ja neljandas −1,0 μC. Leia välja tugevus ja potentsiaal ruudu keskpunktis.

Näita vastust

8 988 N/C, suunatud negatiivse nurga poole; 1,271 × 10⁴ V.

$E\approx8988\ \mathrm{N/C},\qquad V=\frac{2kq}{\sqrt2}\approx1{.}271\times10^{4}\ \mathrm{V}$
Kuulike massiga 2,0 g ja laenguga +3,0 μC vabastatakse paigalseisust 0,20 m kaugusel kinnitatud laengust +5,0 μC. Kui suur on selle kiirus kaugel eemal?

Näita vastust

25,96 m/s: kogu energia 0,6741 J muundub kineetiliseks energiaks.

$\tfrac12mv^{2}=\frac{kq_1q_2}{r}\approx0{.}6741\ \mathrm{J},\qquad v\approx25{.}96\ \mathrm{m/s}$
Ruudu (küljepikkusega 1,0 m) tippudes asuvad neli +1,0 μC laengut. Kui palju tööd nõudis nende sinna asetamine?

Näita vastust

4,866 × 10⁻² J: neli külge ja kaks diagonaali, (4 + √2)kq²/a.

$U=\bigl(4+\sqrt2\bigr)\frac{kq^{2}}{a}\approx4{.}866\times10^{-2}\ \mathrm{J}$

Mõned teed läbi selle välja on täiesti tasuta

Lülitage ekvipotentsiaaljooned sisse ja pilt saab teise kõverate pere. Laengu libistamine mööda ükskõik millist neist rõngastest ei nõua täpselt mingit tööd — mitte vähe, vaid null — ükskõik kui kaugele te ringi lähete, sest iga rõnga punkt on samal potentsiaalil. Just see teebki välja konservatiivseks, ja järeldus on veelgi teravam: viige laeng ükskõik millisel suletud silmusel, olgu see kui tahes keerdunud, ja kogutöö tuleb tagasi nulli. Pange ka tähele, et väljajooned ja ekvipotentsiaaljooned kohtuvad alati täisnurga all, kõikjal ja igas eelseadistuses. See ei ole kaunistus. Väli osutab suunas, kus potentsiaal langeb kõige järsemalt, ja järseima languse suund on alati risti selle nivoojoonega, millel te seisate.

Miks laengut ei saa õhku kinni püüda

Aseta kaks samamärgilist laengut ja nende vahele tekib nullpunkt, kus väli on täpselt null. See paistab puhkepaigana, kuid on hoopis sadulpunkt, mitte lohk: väike tõuge ja proovilaeng põgeneb. Earnshaw' teoreem (1842) tõestab, et ükski paigal olev laengute paigutus ei suuda hoida teist laengut stabiilses staatilises tasakaalus. Sama matemaatika keelab magneti hõljutamise ainult magnetitega — alati on vaja pöörlemist, diamagnetismi või aktiivset juhtimist.

Õpitee

Kust väljad tulevad

Allikad (1)

Insight block 3 — why the null point between two like charges is a saddle and not a trap: S. Earnshaw, "On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 7, 97–112, 1842.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.