Bioti-Savarti seadus

Vool tekitab magnetvälja ja Bioti-Savarti seadus ütleb, kui suure panuse annab iga lühike juhtmelõik: dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r², risti nii juhtme kui ka vaadeldavasse punkti viiva sirgega. Liida need tükid kokku ja käes ongi mistahes juhtme väli. Vali kuju, määra voolutugevus ning võrdle täpset valemit N sirgelemendi summaga.

Ühe vooluelemendi väli	$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}}$
Voolule mõjuv jõud ja kahe juhtme vastastikmõju	$\vec F=I\vec L\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}$

Näidisarvutus — Bioti-Savarti seadus

B punktis P	22,48 μT
Sama 12 vooluelemendiga	23,32 μT
B ringjuhtme keskpunktis	31,42 μT
Dipooliväli kaugusel z	251,3 μT

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Bioti-Savarti seadus

Bioti-Savarti seadus määrab vooluelemendi I dl tekitatud magnetvälja sellest kaugusel r asuvas punktis: dB = (μ₀/4π) I dl × r̂/r², kus μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Kogu juhtme välja saamiseks liidetakse elementide panused, mis tähendab integraali piki juhet.

Mida iga sümbol tähendab

I dl: lühike juhtmelõik voolusuunalise vektorina
r̂: ühikvektor elemendist vaadeldava punktini
φ: nurk vektorite dl ja r̂ vahel; elemendi väli on võrdeline suurusega sin φ

Kust valem tuleb

Üksik element. Elemendi I dl väli on risti nii vektori dl kui ka vektoriga r̂ (parema käe reegel) ning selle väärtus on (μ₀/4π) I dl sin φ/r². Otse punkti P suunatud element väljale panust ei anna.
$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^{2}},\qquad dB=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl\,\sin\varphi}{r^{2}}$
Sirglõik. Kõigi elementide tekitatud väli punktis P on samasuunaline. Asendades x = d tan θ, millest r = d/cos θ ja sin φ = cos θ, saab integraaliks ∫cos θ dθ. Lõpmatu juhtme korral muutub nurk vahemikus θ = −90° kuni 90°.
$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\cos\theta\,d\theta=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)\ \to\ \frac{\mu_0I}{2\pi d}$
Ringjuhe oma teljel. Iga element on punktist P ühesugusel kaugusel √(R² + z²) ja risti kohavektoriga. Piki ringjuhet ristkomponendid teljega taanduvad ning igast elemendist jääb piki telge alles murdosa R/√(R² + z²).
$B_z=\oint\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{I\,dl}{R^{2}+z^{2}}\cdot\frac{R}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}$
Kaar oma keskpunktis. Iga element asub kaugusel R ja on raadiusega risti, seega on integraali tulemuseks kaare kesknurga ja suhte μ₀I/(4πR) korrutis.
$B=\int_{0}^{\theta_0}\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{IR\,d\theta}{R^{2}}=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}$
Juhtmele mõjuv jõud. Magnetväli mõjub vooluelemendile jõuga dF = I dl × B, mis on liikuvatele laengutele mõjuvate jõudude summa. Asetades ühe pika juhtme teise välja, saamegi jõu juhtme meetri kohta.
$d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B,\qquad\frac{F}{L}=I_2\,\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}$

Eeldab: Püsivoolud peenikestes juhtmetes, vaakumis või õhus. Kaare sirged toitejuhtmed loetakse suunatuks keskpunkti, mistõttu nende elemendid ei anna väljale lisa; punktist P kaugemalt mööduv toitejuhe lisab oma lõigu välja.

Ülesanded täielikult lahendatud

Sirglõik, keskosa kõrval 3 sammu
Sirges 20 cm pikkuses juhtmes voolab vool 5,0 A. Leia B punktis, mis asub selle keskpunktist 5,0 cm kaugusel, ning võrdle seda lõpmata pika juhtmega.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kumbki ots jääb risti aluspunktist 10 cm kaugusele:
  
  $\sin\theta_{2}=-\sin\theta_{1}=\frac{0{.}10}{\sqrt{0{.}10^{2}+0{.}05^{2}}}\approx0{.}8944$
2. Sirglõigu valem:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(\sin\theta_2-\sin\theta_1\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}\,(1{.}789)\approx1{.}789\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Lõpmatu juhe samal kaugusel:
  
  $B_{\infty}=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=2{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Vastus

17,89 μT lõpmatu juhtme 20 μT vastu: lõik katab 126,9° lõpmatu juhtme 180°-st.

$B\approx17{.}89\ \mu\mathrm{T},\qquad B_{\infty}=20\ \mu\mathrm{T}$
Juhe, mille ots on punkti vastas 1 sammu
Pikk sirge juhe vooluga 5,0 A lõpeb risti aluspunktis, mis asub punktist 5,0 cm kaugusel. Leia B selles punktis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Juhe ulatub nurgast θ₁ = 0 nurgani θ₂ = 90°:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\left(1-0\right)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}05}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Vastus

10 μT ehk pool lõpmatu juhtme 20 μT-st.

$B=\frac{\mu_0I}{4\pi d}=10\ \mu\mathrm{T}$
Ringjuhe oma teljel ja keskpunktis 2 sammu
Ringjuhtmes raadiusega 10 cm kulgeb vool 5,0 A. Leia B juhtme keskpunktis ja teljel 5,0 cm kaugusel.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Keskpunktis, kus z = 0:
  
  $B_{0}=\frac{\mu_0I}{2R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{2\,(0{.}10)}\approx3{.}142\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Kaugusel z = 5,0 cm:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}0125)^{3/2}}\approx2{.}248\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Vastus

Keskpunktis 31,42 μT, kaugusel 5,0 cm aga 22,48 μT.

$B_{0}\approx31{.}42\ \mu\mathrm{T},\qquad B(5\ \mathrm{cm})\approx22{.}48\ \mu\mathrm{T}$
Veerandring 1 sammu
Veerandringiks painutatud 10 cm raadiusega juhtmes voolab vool 5,0 A; sirged toitejuhtmed on suunatud keskpunkti. Leia B keskpunktis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Toitejuhtmed on suunatud punkti P poole, mistõttu sin φ = 0 kõigi nende elementide jaoks. Kaarel asub iga element kaugusel R ning dl on risti vektoriga r̂:
  
  $B=\frac{\mu_0I\theta_0}{4\pi R}=\frac{(10^{-7})(5{.}0)(\pi/2)}{0{.}10}\approx7{.}854\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
Vastus

7,854 μT ehk veerand terve ringjuhtme 31,42 μT-st.

$B=\frac{\mu_0I}{8R}\approx7{.}854\ \mu\mathrm{T}$
Juuksenõel 3 sammu
Pikk juhe vooluga 5,0 A suundub kohale, teeb 10 cm raadiusega poolringi ja suundub endaga paralleelselt tagasi. Leia B poolringi keskpunktis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Poolring moodustab poole ringjuhtmest:
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4R}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{4\,(0{.}10)}\approx1{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Kumbki sirgjuhe lõpeb keskpunkti kõrgusel kaugusel R, olles seega pool lõpmatust juhtmest; mõlema väli on samasuunaline poolringi väljaga:
  
  $B_{2}=2\cdot\frac{\mu_0I}{4\pi R}=2\cdot\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}=1{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
3. Liidame need:
  
  $B=\frac{\mu_0I}{4R}\Bigl(1+\frac{2}{\pi}\Bigr)\approx2{.}571\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Vastus

25,71 μT, kõigi kolme osa panus on samas suunas: tasapinnast välja, kui vool kulgeb mööda poolringi vastupäeva.

$B\approx25{.}71\ \mu\mathrm{T}$
Ruudukujuline raam oma keskpunktis 2 sammu
Ruudukujulises raamis küljepikkusega 20 cm voolab vool 5,0 A. Leia B raami keskpunktis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Iga külg on sirglõik, mille d = 10 cm ja otspunktid asuvad kohal x = ±10 cm, seega sin θ = ±1/√2:
  
  $B_{1}=\frac{\mu_0I}{4\pi d}\Bigl(\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)=\frac{(10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\,\sqrt2\approx7{.}071\times10^{-6}\ \mathrm{T}$
2. Kõik neli külge tekitavad samasuunalise välja:
  
  $B=4B_{1}=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx2{.}828\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Vastus

28,28 μT, mis on veidi vähem kui ruudule sissejoonestatud 10 cm raadiusega ringi 31,42 μT.

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}\approx28{.}28\ \mu\mathrm{T}$
Kahe paralleelse juhtme vaheline jõud 2 sammu
Kahes pikas paralleelses juhtmes vahekaugusega 5,0 cm voolab kummaski samas suunas vool 10 A. Leia kummagi juhtme ühele meetrile mõjuv jõud ja määra selle suund.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Juhtme 1 tekitatud väli juhtme 2 asukohas:
  
  $B_1=\frac{\mu_0I_1}{2\pi d}=\frac{(2\times10^{-7})(10)}{0{.}05}=4{.}0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
2. Juhtme 2 lõigule pikkusega L mõjuv jõud on I₂L × B₁, mis on juhtmega risti ja suunatud 1. juhtme poole:
  
  $\frac{F}{L}=I_2B_1=(10)(4{.}0\times10^{-5})=4{.}0\times10^{-4}\ \mathrm{N/m}$
Vastus

0,40 mN meetri kohta, tõmbejõud. Ühe voolu suunda pöörates muutub see sama suureks tõukejõuks.

$\frac{F}{L}=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=0{.}40\ \mathrm{mN/m}$
Helmholtzi poolipaar 2 sammu
Kaks samateljelist ringjuhet raadiusega 10 cm ja vahekaugusega 10 cm kannavad kumbki samasuunalist voolu 5,0 A. Leia B keskpunktis.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Kumbki ringjuhe on keskpunktist kaugusel s/2 = R/2:
  
  $B=2\cdot\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+R^{2}/4\right)^{3/2}}$
2. Lihtsustades:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{\left(\tfrac{5}{4}R^{2}\right)^{3/2}}=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}=\frac{8}{5\sqrt5}\cdot\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)}{0{.}10}\approx4{.}496\times10^{-5}\ \mathrm{T}$
Vastus

44,96 μT ehk 1,431 korda suurem ühe ringjuhtme keskpunkti väljast.

$B=\frac{8}{5\sqrt5}\,\frac{\mu_0I}{R}\approx44{.}96\ \mu\mathrm{T}$
Ringjuhe kaugelt vaadates 3 sammu
Leia 3. ülesande ringjuhtme magnetmoment ning hinda dipooli valemi abil välja B teljel 50 cm kaugusel. Kui täpne see hinnang on?

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Magnetmoment:
  
  $m=I\pi R^{2}=(5{.}0)\,\pi\,(0{.}10)^{2}\approx0{.}1571\ \mathrm{A\,m^{2}}$
2. Dipooli valem:
  
  $B\approx\frac{\mu_0m}{2\pi z^{3}}=\frac{(2\times10^{-7})(0{.}1571)}{(0{.}50)^{3}}\approx2{.}513\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
3. Täpne väli:
  
  $B=\frac{\mu_0IR^{2}}{2\left(R^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}=\frac{(4\pi\times10^{-7})(5{.}0)(0{.}01)}{2\,(0{.}26)^{3/2}}\approx2{.}370\times10^{-7}\ \mathrm{T}$
Vastus

m = 0,1571 A·m²; dipooli valem annab 0,2513 μT täpse 0,237 μT vastu, viie raadiuse kaugusel on see 6% võrra suurem.

$B_{m}\approx0{.}2513\ \mu\mathrm{T},\qquad B\approx0{.}2370\ \mu\mathrm{T}$
Juhtmele mõjuv jõud homogeenses väljas 1 sammu
Sirges 20 cm pikkuses juhtmes voolab vool 5,0 A nurga 30° all homogeense välja 0,30 T suhtes. Leia juhtmele mõjuv jõud.
Näita lahendust
1. F = IL × B, mille suurus on ILB sin θ:
  
  $F=ILB\sin\theta=(5{.}0)(0{.}20)(0{.}30)\sin30^{\circ}=0{.}15\ \mathrm{N}$
Vastus

0,15 N, risti nii juhtme kui ka väljaga.

$F=0{.}15\ \mathrm{N}$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Pikas sirges juhtmes voolab vool 20 A. Leia B sellest 4,0 cm kaugusel.

Näita vastust

100 μT.

$B=\frac{\mu_0I}{2\pi d}=100\ \mu\mathrm{T}$
Lamepoolil on 50 keerdu raadiusega 5,0 cm ja selles voolab 2,0 A. Leia B pooli keskpunktis.

Näita vastust

1,257 mT ehk viiskümmend korda ühe keeru väli.

$B=N\,\frac{\mu_0I}{2R}\approx1{.}257\ \mathrm{mT}$
Leia B ruudukujulise raami keskpunktis, kui küljepikkus on a ja voolutugevus I.

Näita vastust

2√2 μ₀I/(πa).

$B=\frac{2\sqrt2\,\mu_0I}{\pi a}$
Kahes pikas paralleelses juhtmes vahekaugusega 5,0 cm voolab 10 A vastassuundades. Leia B juhtmete vahel poolel teel.

Näita vastust

160 μT: seal on mõlema juhtme väli samasuunaline.

$B=2\cdot\frac{\mu_0I}{2\pi\,(d/2)}=160\ \mu\mathrm{T}$
Ristkülikukujulises raamis mõõtmetega 10 cm ja 5,0 cm voolab vool 3,0 A; raam asub selle tasapinnaga paralleelses homogeenses väljas 0,20 T. Leia raamile mõjuv jõumoment.

Näita vastust

3,0 × 10⁻³ N·m, valemist τ = mB sin 90°, kus m = IA.

$\tau=IAB=3{.}0\times10^{-3}\ \mathrm{N\,m}$
Prooton liigub kiirusega 1,0 × 10⁵ m/s paralleelselt 10 A vooluga pika juhtmega sellest 2,0 cm kaugusel voolu suunas. Leia prootonile mõjuv jõud.

Näita vastust

1,602 × 10⁻¹⁸ N, suunatud juhtme poole.

$F=qvB=qv\,\frac{\mu_0I}{2\pi d}\approx1{.}602\times10^{-18}\ \mathrm{N}$

Samasuunalised voolud tõmbuvad

Vajuta nuppu Samasuunalised voolud: mõlemas 10 A, vahekaugus 5 cm, ja kummagi juhtme iga meeter tõmbub teise poole jõuga 0,4 mN. Nüüd vajuta Vastassuunalised voolud ning juhtmed tõukuvad teineteisest eemale sama jõuga. Elektrilaengud käituvad vastupidi: samanimelised laengud tõukuvad. Teisele juhtmele mõjuv jõud on I₂ korrutatuna juhtme suunavektori ja esimese juhtme välja μ₀I₁/(2πd) vektorkorrutisega. Samasuunaliste voolude korral on see korrutis suunatud tagasi 1. juhtme poole. Kuni 20. maini 2019 defineeris just see jõud ampri: 1 A oli voolutugevus, mis tekitas kahe 1 m kaugusel asuva juhtme vahel jõu 2 × 10⁻⁷ N meetri kohta, mistõttu μ₀ väärtus oli täpselt 4π × 10⁻⁷ N/A². Nüüd seob ampri definitsioon voolu elektroni laenguga ning μ₀ on mõõdetav suurus: CODATA 2022 annab väärtuseks 1,25663706127(20) × 10⁻⁶ N/A², mis langeb määramatuse piires vana väärtusega kokku.

Vooluring on magnet ja kaugelt vaadates nagu iga teinegi

Vajuta nuppu Ringjuhe kaugelt. Raadiusega 10 cm ringjuhtme teljel 50 cm kaugusel on välja tugevus 0,237 μT ning valem μ₀m/(2πz³) magnetmomendiga m = IπR² annab 0,2513 μT; veel kaugemal sulavad need kaks kokku. See on dipooli väli. Elektriline dipool p tekitab oma teljel välja 2kp/z³ ja vooluring annab (μ₀/4π)·2m/z³: täpselt sama seaduspärasus, kus k asemel on μ₀/4π ja p asemel m. Kaugelt vaadates loeb vaid juhtme magnetmoment, voolutugevuse ja pindala korrutis. Juhtme täpne kuju määrab välja vaid lähedal. Just seetõttu asendavad väike pool ja kompassinõel teineteist täiuslikult.

Kaks raadiusekaugusel asuvat ringjuhet tekitavad ühtlaseima välja

Vajuta nuppu Helmholtzi poolipaar. Kui ringjuhtmete vahekaugus on 10 cm ehk võrdne nende raadiusega, on välja tugevus keskpunktis (8/5√5)μ₀I/R = 44,96 μT ning telge mööda 1 cm edasi liikudes muutub see vaid 0,011%. Üksiku ringjuhtme väli muutuks sama sentimeetri jooksul 1,5%. Ühe ringjuhtme välja graafik piki telge on juhtme lähedal kumer ja kaugemal nõgus ning pöördepunkt asub kohal z = R/2. Kui valida s = R, satub keskpunkt mõlema juhtme käänupunkti, mistõttu välja teine tuletis on seal null. Sümmeetria tõttu taanduvad ka esimene ja kolmas tuletis, nii et välja hälve keskpunkti väärtusest kasvab alles teguriga z⁴. Kui sead s väärtuseks 8 cm, kummub graafiku keskosa ülespoole; 12 cm puhul vajub see lohku.

Õpitee

Kust väljad tulevad

Allikad (6)

The law dB = (μ₀/4π) I dl sin θ/r², and the field at the centre of an arc, μ₀Iθ/(4πR) (Example 12.2): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.1, “The Biot-Savart Law”.
The infinite straight wire, μ₀I/(2πR), from the integral over θ (Eq. 12.8): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.2, “Magnetic Field Due to a Thin Straight Wire”.
F/l = μ₀I₁I₂/(2πr), attractive for currents in the same direction and repulsive for opposite ones: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.3, “Magnetic Force between Two Parallel Currents”.
The loop on its axis, its centre, the far field as a magnetic dipole (Eq. 12.19), and Helmholtz coils (Example 12.5): S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2, OpenStax (2016), section 12.4, “Magnetic Field of a Current Loop”.
Insight block 1: the pre-2019 definition (“…would produce between these conductors a force equal to 2 × 10⁻⁷ newton per meter of length”) and the new definition's date, 20 May 2019: National Institute of Standards and Technology, “SI Redefinition: Ampere”.
Insight block 1: μ₀ = 1.256 637 061 27(20) × 10⁻⁶ N A⁻², relative standard uncertainty 1.6 × 10⁻¹⁰, CODATA 2022: National Institute of Standards and Technology, CODATA Internationally Recommended 2022 Values of the Fundamental Physical Constants, “vacuum magnetic permeability”.

7 Raven Roomi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.