sec・csc・cot と三角関数の相互関係

三角関数の一つについて値と象限を入れると、このページは角を求め、二つの関数を結ぶ相互関係から相手の値を、点 P から残りの四つを求めます。角をドラッグして、sec θ, csc θ, cot θ が図の中の長さとして変わる様子を見ることもできます。

逆数の三角関数	$\begin{gathered}\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}\\ \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\end{gathered}$
基本の相互関係	$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$
cos²θ で割る	$1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta$
sin²θ で割る	$1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta$

計算例 — sec・csc・cot と三角関数の相互関係

角	143.1301°
相互関係から（第 II 象限の符号）	−0.8
正弦	0.6
余弦	−0.8
正接	−0.75
正割	−1.25
余割	1.6667
余接	−1.3333

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レッスン

理論 — sec・csc・cot と三角関数の相互関係

逆数の三角関数は sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ, cot θ = cos θ/sin θ で、それぞれ分母が 0 でないところで定義されます。三角関数の相互関係 sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ は、両辺が定義されるすべての角で成り立ちます。

公式の導き方

円から始める。P = (cos θ, sin θ) はどの角でも O からの距離が 1 なので、どの象限でも cos²θ + sin²θ = 1 です。2 乗すると符号は消えます。だから、直角をはさむ辺が |cos θ| と |sin θ| の三角形からも同じ式が出てきます。
$x_P^{2}+y_P^{2}=1\ \Rightarrow\ \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$
cos²θ で、または sin²θ で割る。どちらの割り算も、新しい関数が定義されるところでちょうど許されます。
$\begin{aligned}\div\cos^{2}\theta:&\quad 1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta\\ \div\sin^{2}\theta:&\quad\cot^{2}\theta+1=\csc^{2}\theta\end{aligned}$
平方根をとり、それから符号を選ぶ。関係式から得られるのは未知数の 2 乗なので、決まるのは大きさです。符号は象限が決めます。
$\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^{2}\theta},\qquad\sec\theta=\pm\sqrt{1+\tan^{2}\theta}$

前提: 各関係式は、そこに現れる関数が定義される場所でだけ成り立ちます。第二の式は 90° の奇数倍で、第三の式は 180° の倍数で成り立ちません。

全プロセスの詳細解説

鈍角の正弦が与えられたとき 2 ステップ
sin θ = 3/5 で、θ は鈍角である。残りの五つの値を正確に求めよ。

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1. 鈍角は第 II 象限にあり、そこでは余弦は負です。sin²θ + cos²θ = 1 より：
  
  $\cos\theta=-\sqrt{1-\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}}=-\sqrt{\tfrac{16}{25}}=-\tfrac{4}{5}$
2. 残りの四つは商と逆数です：
  
  $\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{3/5}{-4/5}=-\tfrac{3}{4}, & \sec\theta&=\frac{1}{\cos\theta}=-\tfrac{5}{4}\\ \csc\theta&=\frac{1}{\sin\theta}=\tfrac{5}{3}, & \cot\theta&=\frac{1}{\tan\theta}=-\tfrac{4}{3}\end{aligned}$
解答

cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, sec θ = −5/4, csc θ = 5/3, cot θ = −4/3

$\cos\theta=-\tfrac45,\ \tan\theta=-\tfrac34,\ \sec\theta=-\tfrac54,\ \csc\theta=\tfrac53,\ \cot\theta=-\tfrac43$
正接から正割を求める 2 ステップ
tan θ = −12/5, 270° < θ < 360° のとき、sec θ, cos θ, sin θ を求めよ。

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1. 第 IV 象限では余弦は正で、正割も正です。1 + tan²θ = sec²θ より：
  
  $\sec\theta=+\sqrt{1+\left(-\tfrac{12}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\tfrac{169}{25}}=\tfrac{13}{5}$
2. cos θ はその逆数で、sin θ = tan θ · cos θ です：
  
  $\cos\theta=\tfrac{5}{13},\qquad\sin\theta=-\tfrac{12}{5}\cdot\tfrac{5}{13}=-\tfrac{12}{13}$
解答

sec θ = 13/5 = 2.6, cos θ = 5/13 ≈ 0.3846, sin θ = −12/13 ≈ −0.9231

$\sec\theta=\tfrac{13}{5},\quad\cos\theta=\tfrac{5}{13}\approx0{.}3846,\quad\sin\theta=-\tfrac{12}{13}\approx-0{.}9231$
余接から余割を求める 2 ステップ
cot θ = 3/4, 180° < θ < 270° のとき、csc θ, sin θ, cos θ を求めよ。

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1. 第 III 象限では正弦は負で、余割も負です。1 + cot²θ = csc²θ より：
  
  $\csc\theta=-\sqrt{1+\left(\tfrac{3}{4}\right)^{2}}=-\sqrt{\tfrac{25}{16}}=-\tfrac{5}{4}$
2. sin θ はその逆数で、cos θ = cot θ · sin θ です：
  
  $\sin\theta=-\tfrac{4}{5},\qquad\cos\theta=\tfrac{3}{4}\cdot\left(-\tfrac{4}{5}\right)=-\tfrac{3}{5}$
解答

csc θ = −5/4, sin θ = −4/5, cos θ = −3/5

$\csc\theta=-\tfrac54,\quad\sin\theta=-\tfrac45,\quad\cos\theta=-\tfrac35$
30° での正確な値 3 ステップ
sec 30°, csc 30°, cot 30° の正確な値を求めよ。

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1. 1 辺が 2 の正三角形を半分にすると、辺は 1, √3, 2 なので
  
  $\sin30^{\circ}=\tfrac{1}{2},\qquad\cos30^{\circ}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$
2. 逆数をとり、分母を有理化します：
  
  $\sec30^{\circ}=\tfrac{2}{\sqrt{3}}=\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\quad\csc30^{\circ}=2,\quad\cot30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$
3. 第二の関係式で確かめます：
  
  $1+\tan^{2}30^{\circ}=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}=\left(\tfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}$
解答

sec 30° = 2√3/3 ≈ 1.1547, csc 30° = 2, cot 30° = √3 ≈ 1.7321

$\sec30^{\circ}=\tfrac{2\sqrt3}{3}\approx1{.}1547,\quad\csc30^{\circ}=2,\quad\cot30^{\circ}=\sqrt3\approx1{.}7321$
二つの関係式で簡単にする 2 ステップ
(1 − cos²θ)(1 + cot²θ) を簡単にせよ。
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1. どちらのかっこも、関係式の片側です。もう一方の側に置き換えます：
  
  $(1-\cos^{2}\theta)(1+\cot^{2}\theta)=\sin^{2}\theta\cdot\csc^{2}\theta$
2. そして csc θ = 1/sin θ より：
  
  $\sin^{2}\theta\cdot\frac{1}{\sin^{2}\theta}=1$
解答

1。ただし、cot θ が定義されない 180° の倍数の角は除く。

$(1-\cos^{2}\theta)(1+\cot^{2}\theta)=1,\qquad\theta\neq k\cdot180^{\circ}$
因数分解した関係式による証明 3 ステップ
1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ を示し、θ = 60° で確かめよ。

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1. 分子と分母に sec θ + tan θ を掛けます：
  
  $\frac{1}{\sec\theta-\tan\theta}=\frac{\sec\theta+\tan\theta}{\sec^{2}\theta-\tan^{2}\theta}$
2. 1 + tan²θ = sec²θ より、分母は 1 です：
  
  $=\frac{\sec\theta+\tan\theta}{1}=\sec\theta+\tan\theta$
3. 60° では sec θ = 2, tan θ = √3：
  
  $\frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}$
解答

両辺が定義されるところでは常に等しい。60° ではどちらも 2 + √3 ≈ 3.7321。

$\frac{1}{\sec60^{\circ}-\tan60^{\circ}}=2+\sqrt3\approx3{.}7321$
どの角もとらない値 2 ステップ
sec θ = 1/2 となる角をすべて求めよ。

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1. sec θ = 1/2 だとすると
  
  $\cos\theta=\frac{1}{\sec\theta}=2$
2. ところが cos θ は半径 1 の円周上の点の座標なので |cos θ| ≤ 1 であり、したがって
  
  $|\sec\theta|=\frac{1}{|\cos\theta|}\geq1$
解答

そのような角はない。sec θ と csc θ が −1 より大きく 1 より小さい値をとることはない。このサンプルは 1/2 を受けつけず、θ を 60° のままにします。そこでは逆数の関係が逆向きで、cos θ = 1/2、sec θ = 2 です。

$\left\{\theta:\ \sec\theta=\tfrac12\right\}=\varnothing$
媒介変数を消去する 2 ステップ
曲線が x = 3 sec t, y = 2 tan t で与えられている。この曲線の x, y の方程式を求めよ。
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1. 二つの関数について解きます：
  
  $\sec t=\frac{x}{3},\qquad\tan t=\frac{y}{2}$
2. これを sec²t − tan²t = 1 に代入します：
  
  $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$
解答

x²/9 − y²/4 = 1、双曲線。|sec t| ≥ 1 なので、曲線上のすべての点で |x| ≥ 3。

$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1,\qquad|x|\geq3$

補充問題（答えのみ）

θ が第三象限の角で、cos θ = −5/13 のとき、残りの五つの三角関数の値を求めなさい。

答えを表示

sin θ = −12/13, tan θ = 12/5, sec θ = −13/5, csc θ = −13/12, cot θ = 5/12。

$\begin{aligned}&\sin\theta=-\tfrac{12}{13},\ \tan\theta=\tfrac{12}{5},\ \sec\theta=-\tfrac{13}{5}\\&\csc\theta=-\tfrac{13}{12},\ \cot\theta=\tfrac{5}{12}\end{aligned}$
(sec θ − cos θ)/tan θ を簡単にしなさい。

答えを表示

sin θ。分子は (1 − cos²θ)/cos θ = sin²θ/cos θ と変形できる。これを sin θ/cos θ で割ると sin θ となる。

$\frac{\sec\theta-\cos\theta}{\tan\theta}=\sin\theta$
0° ≤ x < 360° の範囲で、方程式 2 sin²x + 3 cos x = 3 を解きなさい。

答えを表示

x = 0°, 60°, 300°。sin²x = 1 − cos²x を代入すると 2 cos²x − 3 cos x + 1 = 0 となり、cos x = 1 または ½ が得られる。

$\begin{aligned}&2\cos^{2}x-3\cos x+1=0\\&x=0^{\circ},\ 60^{\circ},\ 300^{\circ}\end{aligned}$
x = 2 cos t, y = 3 sin t から媒介変数 t を消去しなさい。

答えを表示

cos²t + sin²t = 1 より、x²/4 + y²/9 = 1。これは楕円を表す。

$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$

三つの関係式は、大きさの違う一つの三角形

√(1 − sin²θ) は cos θ ではない

sin θ = 3/5、第 II 象限を押してみましょう。相互関係から cos²θ = 1 − 0.36 = 0.64 となり、0.64 の平方根は二つあります。根号が表すのは正のほうなので、√(1 − sin²θ) は |cos θ| です。cos θ = √(1 − sin²θ) と書くと、第 II 象限と第 III 象限のすべての角で誤りになります。ここでは cos θ = −0.8 です。関係式が決めるのは大きさで、符号を決めるのは象限だけです。だから問題文は「θ は鈍角」のように、θ がどこにあるかを言わなければなりません。値を 0.6 のままにして I をクリックすると、θ は 36.8699° に移り、cos θ は +0.8 になります。III をクリックすると、ページは受けつけません。そこでは正弦が負だからです。

90° の近くでは、sec θ と tan θ は巨大でほとんど等しい

θ = 89°を押してみましょう。tan θ = 57.29、sec θ = 57.2987 で、差はわずか 0.0087 です。90° のすぐ近くで二つが離れられないのは、第二の関係式のためです。sec²θ − tan²θ = 1 と書いて因数分解すると (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1 となり、差はちょうど 1 を和で割ったもの、1/114.5887 ≈ 0.0087 です。θ を 90° に近づけると、和は限りなく大きくなり、差は 0 に向かって縮みます。90° ちょうどでは、どちらの関数も定義されません。この因数分解の形は、よく知られた証明の要でもあります。1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ が成り立つのは、分子と分母に sec θ + tan θ を掛けると分母が 1 になるからです。

学習の道すじ

三角関数の恒等式と方程式

参考文献 (2)

The reciprocal identities and the three Pythagorean identities, sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = csc²θ (OpenStax lists the last two in the other order): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.
Insight block 1: Fincke's Geometriae rotundi (1583) “introduces the terms ‘tangents’ and ‘secants’”: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Thomas Fincke”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 2012).

7 Raven Room チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。

sec・csc・cot と三角関数の相互関係

公式の導き方

補充問題（答えのみ）

三つの関係式は、大きさの違う一つの三角形 🖖

√(1 − sin²θ) は cos θ ではない 🖖

90° の近くでは、sec θ と tan θ は巨大でほとんど等しい 🖖

三つの関係式は、大きさの違う一つの三角形

√(1 − sin²θ) は cos θ ではない

90° の近くでは、sec θ と tan θ は巨大でほとんど等しい