Integrais duplas

Fixe x e o sólido sob z = f(x, y) tem uma secção cuja área A(x) é uma integral ordinária em y. Integre A(x) ao longo de x e obtém o volume. Se, em vez disso, fixar y, a região tem de ser lida ao contrário, com x entre duas curvas; as duas ordens concordam em todos os casos desta página, exceto num.

Fatias com x fixo	$\iint_{D}f\,dA=\int_{a}^{b}\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx$
A outra ordem (Fubini), quando ∬\|f\| dA é finita	$\begin{gathered}\int_{a}^{b}\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f\,dy\,dx=\int_{c}^{d}\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f\,dx\,dy\\ \iint_{D}\|f\|\,dA<\infty\end{gathered}$

Exemplo resolvido — Integrais duplas

Área da fatia neste x	0,2188
Volume, fatias com x fixo	0,15
Volume na outra ordem, fatias com y fixo	0,15

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Lição

A teoria — Integrais duplas

A integral dupla ∬_D f(x, y) dA é o volume entre uma região D do plano xy e a superfície z = f(x, y), contando como negativa qualquer parte abaixo do plano. Calcula-se como integral iterada: integra-se numa variável mantendo a outra fixa e depois integra-se o que resulta.

O que significa cada símbolo

A(x): a área da fatia num x fixo, ela própria uma integral em y
g₁(x), g₂(x): as fronteiras inferior e superior de D quando D é lida ao longo de x
h₁(y), h₂(y): as fronteiras esquerda e direita de D quando D é lida ao longo de y

De onde vem a fórmula

Fixe x. O plano nesse x corta o sólido numa fatia cujo bordo superior é a curva y ↦ f(x, y), desde a fronteira inferior da região até à superior. A sua área é uma integral em y com x tratado como constante, o mesmo gesto de uma derivada parcial.
$A(x)=\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy$
Some as fatias. O volume é a integral de A(x) ao longo de x: volume por fatiamento, com uma fatia que precisou de uma integral própria.
$V=\int_{a}^{b}A(x)\,dx=\int_{a}^{b}\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx$
Ou fatie no outro sentido. Leia D ao longo de y, com x entre uma fronteira esquerda e uma direita, e integre primeiro em x. O teorema de Fubini diz que as duas ordens dão o mesmo número sempre que ∬|f| dA é finita, o que se verifica para qualquer f contínua numa região fechada e limitada.
$\int_{a}^{b}\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f\,dy\,dx=\int_{c}^{d}\!\int_{h_1(y)}^{h_2(y)}f\,dx\,dy$

Pressupõe: f é contínua em D, ou pelo menos ∬|f| dA é finita. Onde uma fronteira de D muda de fórmula, como a aresta superior do triângulo em x = 1, a integral divide-se nesse ponto.

Problemas resolvidos na íntegra

Sobre um retângulo, nas duas ordens 3 passos
Calcule ∬ xy² dA sobre o retângulo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, nas duas ordens.

Abrir este problema na ferramenta
1. Com x fixo, integre em y tratando x como constante:
  
  $A(x)=\int_{0}^{1}xy^{2}\,dy=\tfrac{x}{3}$
2. Depois, ao longo de x:
  
  $\int_{0}^{2}\tfrac{x}{3}\,dx=\tfrac{4}{6}=\tfrac{2}{3}$
3. A outra ordem, fatias com y fixo:
  
  $\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2}xy^{2}\,dx\,dy=\int_{0}^{1}2y^{2}\,dy=\tfrac{2}{3}$
Resposta

2/3 ≈ 0,6667 de qualquer das maneiras. Sobre um retângulo os limites são números nas duas ordens, e um produto separa-se: (∫₀² x dx)(∫₀¹ y² dy) = 2 · 1/3.

$\iint_{R}xy^{2}\,dA=\tfrac{2}{3}\approx0{.}6667$
Uma região entre duas curvas 2 passos
Calcule ∬ (x + y) dA sobre a região entre y = x² e y = x.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. As curvas encontram-se em x = 0 e x = 1, e entre elas x² ≤ x, pelo que com x fixo a fatia vai de y = x² até y = x:
  
  $\begin{aligned}A(x)&=\int_{x^{2}}^{x}(x+y)\,dy=\Bigl[xy+\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr]_{x^{2}}^{x}\\&=\tfrac{3x^{2}}{2}-x^{3}-\tfrac{x^{4}}{2}\end{aligned}$
2. Integre de 0 a 1:
  
  $\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{3x^{2}}{2}-x^{3}-\tfrac{x^{4}}{2}\Bigr)dx=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{10}=\tfrac{3}{20}$
Resposta

3/20 = 0,15.

$\iint_{D}(x+y)\,dA=\tfrac{3}{20}=0{.}15$
Inverter a ordem 3 passos
Escreva a integral do problema 2 com a ordem de integração invertida e calcule-a.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. Leia a região ao longo de y: vai de y = 0 a y = 1, e à altura y a sua fronteira esquerda é a reta, x = y, e a direita é a parábola, x = √y:
  
  $\int_{0}^{1}\!\int_{x^{2}}^{x}(x+y)\,dy\,dx=\int_{0}^{1}\!\int_{y}^{\sqrt{y}}(x+y)\,dx\,dy$
2. A integral interior, com y fixo:
  
  $\int_{y}^{\sqrt{y}}(x+y)\,dx=\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}+xy\Bigr]_{y}^{\sqrt{y}}=\tfrac{y}{2}+y^{3/2}-\tfrac{3y^{2}}{2}$
3. Depois, ao longo de y:
  
  $\int_{0}^{1}\Bigl(\tfrac{y}{2}+y^{3/2}-\tfrac{3y^{2}}{2}\Bigr)dy=\tfrac{1}{4}+\tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{20}$
Resposta

3/20 outra vez. A parábola que era a fronteira inferior na leitura ao longo de x é a fronteira direita na leitura ao longo de y, escrita x = √y.

$\int_{0}^{1}\!\int_{y}^{\sqrt{y}}(x+y)\,dx\,dy=\tfrac{3}{20}$
Escolher a ordem que pede uma só integral 3 passos
Calcule ∬ xy dA sobre o triângulo de vértices (0, 0), (2, 0) e (1, 1).

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. Lendo ao longo de x, a aresta superior é y = x até x = 1 e y = 2 − x a partir daí, o que obriga a duas integrais. Lendo ao longo de y, o triângulo vai da fronteira esquerda x = y à fronteira direita x = 2 − y para todo o y, por isso fatie com y fixo:
  
  $\iint_{T}xy\,dA=\int_{0}^{1}\!\int_{y}^{2-y}xy\,dx\,dy$
2. A integral interior:
  
  $\int_{y}^{2-y}xy\,dx=\tfrac{y}{2}\bigl((2-y)^{2}-y^{2}\bigr)=2y(1-y)$
3. Depois, ao longo de y:
  
  $\int_{0}^{1}2y(1-y)\,dy=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}$
Resposta

1/3 ≈ 0,3333. A outra ordem dá 1/8 + 5/24 a partir das suas duas partes, o mesmo 1/3.

$\iint_{T}xy\,dA=\tfrac{1}{3}\approx0{.}3333$
Inverter a ordem para obter uma fórmula 3 passos
Calcule ∫₀¹ ∫ₓ¹ e^(y²) dy dx.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. A integral interior não tem primitiva elementar, por isso inverta a ordem. A região é 0 ≤ x ≤ y ≤ 1; lida ao longo de y, é 0 ≤ y ≤ 1 com 0 ≤ x ≤ y:
  
  $\int_{0}^{1}\!\int_{x}^{1}e^{y^{2}}\,dy\,dx=\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{y}e^{y^{2}}\,dx\,dy$
2. A função integranda não depende de x:
  
  $\int_{0}^{y}e^{y^{2}}\,dx=ye^{y^{2}}$
3. Substitua u = y²:
  
  $\int_{0}^{1}ye^{y^{2}}\,dy=\Bigl[\tfrac{e^{y^{2}}}{2}\Bigr]_{0}^{1}=\tfrac{e-1}{2}$
Resposta

(e − 1)/2 ≈ 0,8591.

$\tfrac{e-1}{2}\approx0{.}8591$
Um sólido descrito pelas suas faces 3 passos
Determine o volume do tetraedro limitado pelos três planos coordenados e pelo plano x + y + z = 1.
Mostrar solução
1. O sólido fica sob z = 1 − x − y e sobre a parte do plano xy onde essa altura não é negativa: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. Leia esse triângulo ao longo de x:
  
  $V=\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx$
2. A integral interior, com x fixo:
  
  $\int_{0}^{1-x}(1-x-y)\,dy=\tfrac{(1-x)^{2}}{2}$
3. Depois, ao longo de x:
  
  $\int_{0}^{1}\tfrac{(1-x)^{2}}{2}\,dx=\tfrac{1}{6}$
Resposta

1/6, o que concorda com um terço da área da base vezes a altura: (1/3)(1/2)(1).

$V=\tfrac{1}{6}$
A altura média sobre uma região 3 passos
Determine o valor médio de f(x, y) = x + y sobre a região do problema 2.
Mostrar solução
1. O valor médio é o volume dividido pela área |D| da região, ou seja, a altura de uma laje plana sobre D com o mesmo volume:
  
  $\bar f=\frac{1}{|D|}\iint_{D}f\,dA$
2. A área é a integral dupla de 1:
  
  $|D|=\int_{0}^{1}\!\int_{x^{2}}^{x}dy\,dx=\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right)dx=\tfrac{1}{6}$
3. Com o volume 3/20 do problema 2:
  
  $\bar f=\frac{3/20}{1/6}=\tfrac{9}{10}$
Resposta

9/10 = 0,9.

$\bar f=0{.}9$
Quando as duas ordens não concordam 4 passos
Mostre que as duas integrais iteradas de f(x, y) = (x² − y²)/(x² + y²)² sobre o quadrado unitário são diferentes e indique que hipótese do teorema de Fubini falha.

Abrir este problema na ferramenta
Mostrar solução
1. A derivada de y/(x² + y²) em ordem a y é f, pelo que, com x > 0 fixo:
  
  $\int_{0}^{1}\frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\,dy=\Bigl[\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\Bigr]_{0}^{1}=\frac{1}{1+x^{2}}$
2. Nesta ordem, portanto:
  
  $\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}f\,dy\,dx=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan1=\frac{\pi}{4}$
3. Trocar x e y muda o sinal de f, pelo que a outra ordem é o mesmo cálculo com o sinal trocado:
  
  $\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}f\,dx\,dy=-\frac{\pi}{4}$
4. Em coordenadas polares, f = cos 2θ/r². Sobre o quarto de disco de raio 1, que está contido no quadrado,
  
  $\int_{0}^{\pi/2}\!\int_{0}^{1}\frac{|\cos2\theta|}{r^{2}}\,r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{\pi/2}|\cos2\theta|\,d\theta\int_{0}^{1}\frac{dr}{r}=\infty$
Resposta

π/4 ≈ 0,7854 numa ordem e −π/4 na outra. ∬|f| dA é infinita, e a finitude é exatamente o que o teorema de Fubini pressupõe.

$\begin{aligned}\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}f\,dy\,dx&=\tfrac{\pi}{4}\approx0{.}7854\\ \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}f\,dx\,dy&=-\tfrac{\pi}{4}\end{aligned}$

Problemas suplementares, só com a resposta

Calcule ∬ (x + y) dA no retângulo [0, 1] × [0, 2].

Mostrar resposta

3, em qualquer das ordens de integração.

$\begin{aligned}&\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2}(x+y)\,dy\,dx\\&=\int_{0}^{1}(2x+2)\,dx=3\end{aligned}$
Calcule ∬ xy dA no triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1).

Mostrar resposta

1/8. Com x como variável da integral exterior, ∫₀¹ ∫₀ˣ xy dy dx = ∫₀¹ x³/2 dx.

$\begin{aligned}&\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x}xy\,dy\,dx\\&=\int_{0}^{1}\frac{x^{3}}{2}\,dx=\frac18\end{aligned}$
Use um integral duplo para calcular a área entre y = x² e y = 2 − x².

Mostrar resposta

8/3 ≈ 2,6667, calculando ∫₋₁¹ ∫ 1 dy dx, com y a variar de x² a 2 − x².

$\begin{aligned}A&=\int_{-1}^{1}\!\int_{x^{2}}^{2-x^{2}}dy\,dx\\&=\int_{-1}^{1}\left(2-2x^{2}\right)dx=\frac83\end{aligned}$
Uma placa ocupa o quadrado [0, 1] × [0, 1] e tem densidade ρ = x + y. Calcule a sua massa e o seu centro de massa.

Mostrar resposta

Massa 1, centro de massa (7/12, 7/12) ≈ (0,5833; 0,5833), deslocado do centro do quadrado em direção ao vértice (1, 1), onde a densidade é maior.

$\begin{aligned}m&=1\\\bar x=\bar y&=\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{1}x(x+y)\,dy\,dx\\&=\frac{7}{12}\approx0{.}5833\end{aligned}$

Troque a ordem e uma integral sem fórmula passa a ter uma

Clique em Uma fatia sem fórmula. Com x fixo, a fatia é a integral de e^(y²) de y = x a 1, e e^(y²) não tem primitiva construída a partir de funções elementares: é a mesma parede contra a qual e^(−t²) esbarra no capítulo de integração. A página só consegue calcular cada fatia numericamente. Clique agora em O mesmo, ao contrário. Com y fixo, a fatia vai de x = 0 a x = y, e a altura e^(y²) não depende de x, pelo que a fatia é um retângulo de área y·e^(y²). Essa é a derivada de e^(y²)/2, e o volume é exatamente (e − 1)/2. Nada no sólido mudou. Foi a ordem de integração que decidiu se as fatias têm sequer uma fórmula.

Uma função em que a ordem muda o resultado

Clique em A ordem muda o resultado. A superfície (x² − y²)/(x² + y²)² é positiva abaixo da diagonal do quadrado unitário e negativa acima dela. Fatie com x fixo e cada fatia tem saldo positivo, 1/(1 + x²), pelo que a integral iterada é π/4 ≈ 0,7854. Passe a dx dy e cada fatia tem saldo negativo, −1/(1 + y²), e o resultado é −0,7854. Nenhum dos dois cálculos tem um erro. Perto da origem a superfície comporta-se como cos 2θ/r², de modo que o volume acima do quadrado e o volume abaixo dele são ambos infinitos, e as duas ordens compensam-nos um contra o outro de maneira diferente. Não há integral dupla em que possam concordar. O teorema de Fubini, publicado em 1907, garante que as ordens concordam quando ∬|f| dA é finita. Aqui é infinita, e o teorema não garante nada.

O sólido sob um pico infinito tem volume π²/6

Clique em Um volume de π²/6. A superfície 1/(1 − xy) cresce sem limite no canto (1, 1) e, ainda assim, o sólido por baixo dela sobre o quadrado unitário tem volume 1,6449. Desenvolva a função integranda em série geométrica, 1 + xy + x²y² + …, e integre termo a termo: xⁿyⁿ sobre o quadrado dá 1/(n + 1)², pelo que o volume é 1 + 1/4 + 1/9 + …, a soma que Euler mostrou em 1735 ser π²/6. Lida ao contrário, a integral dupla é uma maneira de somar a série. Frits Beukers usou integrais sobre esse mesmo quadrado, com 1 − xy no denominador, na sua curta demonstração de 1979 de que 1 + 1/8 + 1/27 + … é irracional.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (4)

The method and the two descriptions of a region the page uses: Type I (“between two vertical lines and the graphs of two continuous functions”) and Type II (between two horizontal lines), and Theorem 5.4, Fubini's theorem (strong form), for a function continuous on such a region: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.2, “Double Integrals over General Regions”.
Insight block 2: Fubini's theorem on successive integration, for f in L¹, that is, with ∬|f| finite; published 1907: G. Fubini, “Sugli integrali multipli”, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (5) 16 (1907), no. 1, 608–614.
Insight block 3: Euler showed in 1735 that 1 + 1/4 + 1/9 + … = π²/6: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Leonhard Euler”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated September 1998).
Insight block 3: integrals over the unit square with 1 − xy in the denominator, used to prove ζ(2) and ζ(3) irrational: F. Beukers, “A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3)”, Bulletin of the London Mathematical Society 11 (1979), no. 3, 268–272.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.