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逆三角関数

小数、分数、または根号を使って x を入力すると、正弦・余弦・正接が x となる主値の範囲の角がただひとつ求まります（存在しない場合はその理由を示します）。角 θ をドラッグして、f⁻¹(f(θ)) が値域へと折り返される様子を観察することもできます。

逆正弦 sin⁡−1x∈[−π2,π2],−1≤x≤1\sin^{-1}x\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\quad -1\le x\le 1
逆余弦 cos⁡−1x∈[0,π],−1≤x≤1\cos^{-1}x\in[0,\pi],\quad -1\le x\le 1
逆正接 tan⁡−1x∈(−π2,π2),x∈R\tan^{-1}x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),\quad x\in\mathbb{R}
正弦を元に戻す sin⁡(sin⁡−1x)=xsin⁡−1(sin⁡θ)=θ  ⟺  −π2≤θ≤π2\begin{gathered}\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\\ \sin^{-1}(\sin\theta)=\theta\iff-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\end{gathered}
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レッスン

理論 — 逆三角関数

逆三角関数 sin⁻¹ x、cos⁻¹ x、tan⁻¹ x（arcsin、arccos、arctan とも表記します）は、正弦・余弦・正接が x となる角のうち、あらかじめ定めた範囲にあるただひとつの角、すなわち主値を返します。右肩の −1 は逆関数を表す記号であり、累乗ではありません。sin⁻¹ x は 1/sin x とは異なります。

公式の導き方

  1. 正弦関数は1対1（単射）ではありません。ひとつの正弦の値を無数の角が共有しているため、あらかじめ範囲を絞り込んでおかないと、「正弦が ½ となる角」と言われても特定の角を指し示せません。
    sin⁡π6=sin⁡5π6=sin⁡(−7π6)=12\sin\tfrac{\pi}{6}=\sin\tfrac{5\pi}{6}=\sin\left(-\tfrac{7\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}
  2. 定義域を制限して、逆関数を作る。−π/2 から π/2 において正弦は −1 から 1 へと単調に増加し、各値を一度きりしかとりません。そのため、この区間に限れば逆関数が定義できます。余弦を 0 ≤ y ≤ π に、正接を −π/2 < y < π/2 に制限するのもまったく同じ理由からです。
    y=sin⁡−1x  ⟺  sin⁡y=x,−π2≤y≤π2y=\sin^{-1}x\iff\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}
  3. 元に戻せるのは一方通行です。定義域内のすべての x について sin(sin⁻¹ x) = x は成り立ちますが、逆向きの sin⁻¹(sin θ) が θ を返すのは、θ が最初から主値の範囲に入っているときだけです。それ以外の角を入れると、同じ正弦をもつ主値の範囲内の角が返されます。
    sin⁡(sin⁡−1x)=x(−1≤x≤1),sin⁡−1(sin⁡5π6)=π6\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\quad(-1\le x\le1),\qquad\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}
  4. 合成関数の値は直角三角形から求まります。y = sin⁻¹ x とおくと sin y = x です。三平方の定理からもう一方の辺の長さが求まり、主値の範囲によってその符号が確定します。
    cos⁡(sin⁡−1x)=1−x2\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}}
前提
sin⁻¹ と cos⁻¹ の定義域は −1 ≤ x ≤ 1 に限られますが、tan⁻¹ はすべての実数に対して定義されます。

全プロセスの詳細解説

  1. 負の正弦値 2 ステップ

    sin⁻¹(−1/2) の厳密な値を求めよ。

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    1. 求める角は sin⁻¹ の値域に含まれている必要があります：

      −π2≤sin⁡−1x≤π2-\tfrac{\pi}{2}\le\sin^{-1}x\le\tfrac{\pi}{2}

    2. sin(π/6) = 1/2 であり、正弦関数は奇関数なので、値域内の角は −π/6 となります：

      sin⁡π6=12 ⇒ sin⁡(−π6)=−12\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12\ \Rightarrow\ \sin\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac12

    解答

    sin⁻¹(−1/2) = −π/6 です。7π/6 や 11π/6 も同じ正弦をとりますが、値域の外にあります。

    sin⁡−1(−12)=−π6≈−0.5236\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}\approx-0{.}5236
  2. 負の余弦値 2 ステップ

    cos⁻¹(−√3/2) の厳密な値を求めよ。

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    1. 値域は 0 から π であり、基準角は π/6 です：

      0≤cos⁡−1x≤π,cos⁡π6=320\le\cos^{-1}x\le\pi,\qquad\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}

    2. 値域内で余弦が負になるのは π/2 を超える部分に限られるため、角は π − π/6 となります：

      cos⁡(π−π6)=−cos⁡π6=−32\cos\left(\pi-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt3}{2}

    解答

    cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6 です。

    cos⁡−1(−32)=5π6≈2.618\cos^{-1}\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)=\tfrac{5\pi}{6}\approx2{.}618
  3. 正接の逆関数 2 ステップ

    tan⁻¹(−√3) の厳密な値を求めよ。

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    1. tan⁻¹ はすべての実数を定義域とし、−π/2 より大きく π/2 未満の値を返します：

      −π2<tan⁡−1x<π2,x∈R-\tfrac{\pi}{2}<\tan^{-1}x<\tfrac{\pi}{2},\qquad x\in\mathbb{R}

    2. tan(π/3) = √3 であり、正接関数は奇関数です：

      tan⁡π3=3 ⇒ tan⁡(−π3)=−3\tan\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3\ \Rightarrow\ \tan\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3

    解答

    tan⁻¹(−√3) = −π/3 です。

    tan⁡−1(−3)=−π3≈−1.0472\tan^{-1}\left(-\sqrt3\right)=-\tfrac{\pi}{3}\approx-1{.}0472
  4. 逆関数が存在する条件 2 ステップ

    sin⁻¹ 1.5、cos⁻¹(−1.2)、tan⁻¹ 1.5 のうち値が存在するものはどれか。存在するものはその値を求めよ。

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    1. 正弦と余弦は単位円上の点の座標であるため、sin⁻¹ と cos⁻¹ が受け付けるのは −1 から 1 の範囲に限られます：

      sin⁡−1x, cos⁡−1x: −1≤x≤1;1.5∉[−1,1],−1.2∉[−1,1]\sin^{-1}x,\ \cos^{-1}x:\ -1\le x\le1;\qquad1{.}5\notin[-1,1],\quad-1{.}2\notin[-1,1]

    2. 正接は任意の実数値をとるため、tan⁻¹ 1.5 は存在します。有名角ではないため、電卓を用いてラジアンで求めます：

      tan⁡−11.5≈0.9828≈56.3099∘\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828\approx56{.}3099^{\circ}

    解答

    値が存在するのは tan⁻¹ 1.5 のみで、約 0.9828（約 56.3099°）です。sin⁻¹ 1.5 と cos⁻¹(−1.2) は定義されません。

    tan⁡−11.5≈0.9828\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828
  5. 値域の外にある角の正弦を戻す 2 ステップ

    sin⁻¹(sin 5π/6) の値を求めよ。

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    1. 5π/6 は値域の外にあるため、答えは 5π/6 にはなりません：

      5π6>π2\tfrac{5\pi}{6}>\tfrac{\pi}{2}

    2. π − θ の正弦は θ の正弦と等しく、π − 5π/6 は値域内に収まります：

      sin⁡(π−5π6)=sin⁡5π6,π−5π6=π6∈[−π2,π2]\sin\left(\pi-\tfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\tfrac{5\pi}{6},\qquad\pi-\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{\pi}{6}\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]

    解答

    sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6 です。

    sin⁡−1(sin⁡5π6)=π6\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}
  6. 値域の外にある角の余弦を戻す 2 ステップ

    cos⁻¹(cos 4π/3) の値を求めよ。

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    1. 4π/3 は π を超えているため、値域の外です：

      4π3>π\tfrac{4\pi}{3}>\pi

    2. 余弦は偶関数であり 2π の周期をもつため、2π − θ は θ と同じ余弦をとります。そして 2π − 4π/3 は値域内に収まります：

      cos⁡(2π−4π3)=cos⁡4π3,2π−4π3=2π3∈[0,π]\cos\left(2\pi-\tfrac{4\pi}{3}\right)=\cos\tfrac{4\pi}{3},\qquad2\pi-\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}\in[0,\pi]

    解答

    cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3 です。

    cos⁡−1(cos⁡4π3)=2π3\cos^{-1}\left(\cos\tfrac{4\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}
  7. 負の値を入力した合成関数 3 ステップ

    tan(cos⁻¹(−3/5)) の厳密な値を求めよ。

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    1. この角を y とおきます。余弦が −3/5 なので、値域の定義から y は π/2 を超える角です：

      y=cos⁡−1(−35):cos⁡y=−35,π2<y≤πy=\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right):\quad\cos y=-\tfrac35,\quad\tfrac{\pi}{2}<y\le\pi

    2. この範囲で正弦は正なので、sin²y + cos²y = 1 より：

      sin⁡y=+1−925=45\sin y=+\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45

    3. さらに tan y = sin y / cos y より：

      tan⁡y=4/5−3/5=−43\tan y=\frac{4/5}{-3/5}=-\tfrac43

    解答

    tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3 です。

    tan⁡(cos⁡−1(−35))=−43≈−1.3333\tan\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=-\tfrac43\approx-1{.}3333
  8. x の式で表す合成関数 3 ステップ

    cos(sin⁻¹ x) を x の式で表し、x = −3/5 で成り立つことを確かめよ。

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    1. 角を y とおきます。sin⁻¹ の値域により y は −π/2 から π/2 の間に保たれ、この範囲で余弦が負になることはありません：

      y=sin⁡−1x:sin⁡y=x,−π2≤y≤π2 ⇒ cos⁡y≥0y=\sin^{-1}x:\quad\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \cos y\ge0

    2. したがって根号の前には正の符号をとります：

      cos⁡y=+1−sin⁡2y=1−x2\cos y=+\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}

    3. x = −3/5 のとき：

      cos⁡(sin⁡−1(−35))=1−925=45\cos\left(\sin^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45

    解答

    −1 から 1 までのすべての x について、± を伴わずに cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) となります。

    cos⁡(sin⁡−1x)=1−x2,−1≤x≤1\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}},\qquad-1\le x\le1
  9. 逆三角関数を含む方程式 2 ステップ

    cos⁻¹ x = 2π/3 を解け。また、cos⁻¹ x = −π/3 を解け。

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    1. 両辺の余弦をとります。2π/3 は値域に含まれているため、これがただひとつの解となります：

      cos⁡−1x=2π3 ⇒ x=cos⁡2π3=−12\cos^{-1}x=\tfrac{2\pi}{3}\ \Rightarrow\ x=\cos\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac12

    2. cos⁻¹ が −π/3 を返すことはありません。値域の外にあるからです：

      −π3∉[0,π]-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]

    解答

    前者の解は x = −1/2 であり、後者には解がありません。cos(−π/3) = 1/2 ですが、cos⁻¹(1/2) は π/3 です。

    x=−12;−π3∉[0,π]⇒∅x=-\tfrac12;\qquad-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]\Rightarrow\varnothing

補充問題（答えのみ）

  1. tan⁻¹(tan 2π/3) の値を求めよ。

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    −π/3（2π/3 − π です）。

    tan⁡−1(tan⁡2π3)=−π3\tan^{-1}\left(\tan\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{\pi}{3}

  2. cos⁻¹(cos(−2π/5)) の値を求めよ。

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    2π/5（余弦関数は偶関数であるため）。

    cos⁡−1(cos⁡(−2π5))=2π5\cos^{-1}\left(\cos\left(-\tfrac{2\pi}{5}\right)\right)=\tfrac{2\pi}{5}

  3. sin⁻¹(sin 4) の値を求めよ（4 はラジアン）。

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    π − 4 ≈ −0.8584（4 が π/2 と 3π/2 の間にあるため）。

    sin⁡−1(sin⁡4)=π−4≈−0.8584\sin^{-1}(\sin4)=\pi-4\approx-0{.}8584

  4. sin(cos⁻¹(−12/13)) の厳密な値を求めよ。

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    5/13（角は π/2 を超えますが、正弦はその範囲でも正だからです）。

    sin⁡(cos⁡−1(−1213))=513\sin\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac{12}{13}\right)\right)=\tfrac{5}{13}

  5. tan(sin⁻¹ x) を x の式で表せ。

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    x/√(1 − x²)（ただし −1 < x < 1）。

    tan⁡(sin⁡−1x)=x1−x2,−1<x<1\tan\left(\sin^{-1}x\right)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad-1<x<1

  6. −1 ≤ x ≤ 1 において sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 であることを示し、x = −1/2 で成り立つことを確かめよ。

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    y = sin⁻¹ x とおくと cos(π/2 − y) = sin y = x であり、π/2 − y は 0 と π の間にあるため、π/2 − y = cos⁻¹ x となります。

    sin⁡−1(−12)+cos⁡−1(−12)=−π6+2π3=π2\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)+\cos^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2}

sin⁻¹(sin θ) は円の半分で逆戻りする

sin⁻¹(sin 150°) を押すと、値は 30° になります。ここで θ を 90° から 270° まで動かしてみてください。θ を増やしているはずなのに、sin⁻¹(sin θ) は傾き −1 で 90° から −90° へと下がり続けます。この区間では 180° − θ を計算していることになるからです。正弦は 90° で 1 に達したあと反転しますから、その逆をたどる関数も一緒に引き返さなければなりません。対して余弦は 0° と 180° で向きを変えるため、−180° から 180° の間では cos⁻¹(cos θ) は |θ|、つまり V字を描きます。正接には反転がありません。漸近線のあいだの各区間でひたすら増え続けるので、tan⁻¹(tan θ) が逆戻りすることはなく、θ が 90° の奇数倍をまたぐたびに 180° ガクンと落ちるだけです。tan⁻¹(tan 135°) の計算も 135° − 180° = −45° にすぎません。

cos⁻¹ に sin⁻¹ の値域は流用できない

−90° から 90° の間では、余弦は負になりません。しかも 0 より大きく 1 未満のあらゆる値を、θ と −θ の二箇所で重複してとってしまいます。逆関数を定めるには、そのどちらも困るのです。−1 から 1 までのすべての値を、過不足なく一度きりとらなければなりません。だからこそ cos⁻¹ は、余弦が 1 から −1 へと単調に下がる円の上半分、0° から 180° を値域に選びます。その代償を払うのが、負の値を入力したときです。sin⁻¹(−1/2) は x 軸より下の −30° ですが、cos⁻¹(−√3/2) は 150° を返します。余弦が負だからといって負の角が出ることは決してなく、必ず 90° を超えた角になるのです。

cos(sin⁻¹ x) に ± は要らない

三角関数の相互関係では、√(1 − sin²θ) は cos θ の絶対値を与えるにすぎず、符号は象限を確かめて自分で決める必要がありました。ところが逆三角関数では、尋ねるまでもなく値域が最初から符号を決めてくれます。sin⁻¹ x は −90° から 90° の間に収まり、この区間で余弦が負になることは決してありません。したがって −1 から 1 までのすべての x について、cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) がそのまま成り立ちます。角そのものが負であっても、x = −3/5 のときの値は +4/5 です。0° から 180° で正弦が負にならないため、sin(cos⁻¹ x) も同様です。cos⁻¹ の値域は第2象限を含むので正接が負になることはありますが、tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x ではその符号を分母の x 自身が背負ってくれるため、ここでも ± を気にする必要はありません。tan(cos⁻¹(−3/5)) を押すと角は 126.8699°、正接は −4/3 になります。

学習の道すじ

三角関数の恒等式と方程式

参考文献 (1)

· 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。