円筒殻法

平面領域を y 軸まわりに回転させた立体は、軸に垂直に切って円環に分けることも、軸に沿った半径 x、高さ h(x) の薄い円筒（円筒殻）に切り分けることもできます。どちらの方法でも求まる体積はまったく同一で、この画面でも双方を個別に計算しています。大きく異なるのは積分の手強さです。どちら向きに刃を入れるかで、計算の険しさが決まります。

円筒殻法（y 軸まわり）	$V=2\pi\int_{a}^{b}x\,h(x)\,dx$
パップスの定理	$V=A\cdot2\pi\bar r$

計算例 — 円筒殻法

x における円筒殻の側面積	0.7854
円筒殻法による体積	1.5708
y 軸に垂直に切る円環法による体積	1.5708
x における円筒殻	2πx·h(x)

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レッスン

理論 — 円筒殻法

a ≤ x ≤ b において y = h(x) の下側にある領域を y 軸まわりに回転させると、円筒殻法によって体積 V = 2π∫ₐᵇ x h(x) dx の立体が得られます。x における微小短冊が回転することで、半径 x、高さ h(x)、厚み dx の薄い円筒が形作られるからです。

各記号の意味

h(x): x における領域の高さ（上側の境界から下側の境界を引いた差）
x: 円筒殻の半径：回転軸からの距離

公式の導き方

ひとつの円筒殻。 半径 x、高さ h、厚み Δx の薄い円筒を展開すると、長さ 2πx、高さ h の平らな板に近似できるため、体積はおよそ 2πx·h·Δx となります。
$\Delta V\approx(2\pi x)\cdot h(x)\cdot\Delta x$
円筒殻を足し合わせる。 短冊の寄与を足し合わせ、Δx を限りなく小さくします。
$V=\lim\sum_{i}2\pi x_i\,h(x_i)\,\Delta x=2\pi\int_{a}^{b}x\,h(x)\,dx$

全プロセスの詳細解説

同じ立体を二通りの方法で 2 ステップ
[0, 1] における y = x² の下側の領域を y 軸まわりに回転させます。円筒殻法と円環法の双方で体積を求めましょう。

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1. 円筒殻法：半径は x、高さは x² です。
  
  $V=2\pi\int_{0}^{1}x\cdot x^{2}\,dx=2\pi\cdot\tfrac14=\tfrac{\pi}{2}$
2. 円環法：y 軸に沿って見ると、領域は x = √y から x = 1 まで広がります。
  
  $V=\pi\int_{0}^{1}\left(1^{2}-\bigl(\sqrt{y}\bigr)^{2}\right)dy=\pi\cdot\tfrac12=\tfrac{\pi}{2}$
解答

どちらの方法でも π/2 ≈ 1.5708 となります。

$V=\tfrac{\pi}{2}\approx1{.}5708$
円筒殻法が冴える例 2 ステップ
[0, π] における y = sin x の下側の領域を y 軸まわりに回転させます。その体積を求めましょう。

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1. 円筒殻法：半径は x、高さは sin x です。
  
  $V=2\pi\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$
2. u = x、dv = sin x dx として ∫x sin x dx を部分積分します：
  
  $\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\Bigl[-x\cos x\Bigr]_{0}^{\pi}+\int_{0}^{\pi}\cos x\,dx=\pi+0$
解答

2π² ≈ 19.7392 です。 円環法では arcsin y を扱う必要があるため、あえてその道を選ぶ人はいません。

$V=2\pi^{2}\approx19{.}7392$
二つの曲線に挟まれた領域 1 ステップ
[0, 1] において y = x と y = x² に挟まれた領域を y 軸まわりに回転させます。その体積を求めましょう。

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1. 円筒殻法：半径は x、高さは x − x² です。
  
  $V=2\pi\int_{0}^{1}x\left(x-x^{2}\right)dx=2\pi\left(\tfrac13-\tfrac14\right)=\tfrac{\pi}{6}$
解答

π/6 ≈ 0.5236 です。

$V=\tfrac{\pi}{6}\approx0{.}5236$
トーラス 2 ステップ
円盤 (x − 2)² + y² ≤ 1 を y 軸まわりに回転させます。その体積を求めましょう。

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1. パップスの定理：面積に中心の移動距離を掛けます。
  
  $V=A\cdot d=\pi\cdot1^{2}\cdot2\pi\cdot2=4\pi^{2}$
2. 円筒殻法では、x における高さが 2√(1 − (x − 2)²) となります：
  
  $V=2\pi\int_{1}^{3}x\cdot2\sqrt{1-(x-2)^{2}}\,dx\overset{u=x-2}{=}4\pi\int_{-1}^{1}(u+2)\sqrt{1-u^{2}}\,du=4\pi\cdot2\cdot\tfrac{\pi}{2}$
解答

4π² ≈ 39.4784 です。 円筒殻法の積分には置換積分と半円の面積が必要ですが、パップスの定理なら一行で片付きます。

$V=4\pi^{2}\approx39{.}4784$
平方根の関数を円筒殻法で 1 ステップ
[0, 4] における y = √x の下側の領域を y 軸まわりに回転させます。その体積を求めましょう。
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1. 円筒殻法：半径は x、高さは √x なので、被積分関数は x のべき乗になります。
  
  $V=2\pi\int_{0}^{4}x\sqrt{x}\,dx=2\pi\Bigl[\tfrac25x^{5/2}\Bigr]_{0}^{4}=2\pi\cdot\tfrac{64}{5}$
解答

128π/5 ≈ 80.4248 です。

$V=\tfrac{128\pi}{5}\approx80{.}4248$
x 軸まわりの回転と円筒殻法 2 ステップ
[0, 1] における y = x² の下側の領域を x 軸まわりに回転させるとき、円筒殻法を用いてその体積を求めましょう。
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1. x 軸まわりに回転させる場合、円筒殻は x 軸に平行になります。半径は y であり、長さは x = √y から x = 1 までとなります。
  
  $V=2\pi\int_{0}^{1}y\left(1-\sqrt{y}\right)dy=2\pi\left(\tfrac12-\tfrac25\right)=\tfrac{\pi}{5}$
2. 円盤法で確かめると：
  
  $V=\pi\int_{0}^{1}\left(x^{2}\right)^{2}dx=\tfrac{\pi}{5}$
解答

どちらの方法でも π/5 ≈ 0.6283 となります。 円筒殻は常に回転軸と平行になり、その半径は回転軸からの距離に一致します。

$V=\tfrac{\pi}{5}\approx0{.}6283$

補充問題（答えのみ）

1 ≤ x ≤ 3 の範囲で、曲線 y = 1/x と x 軸の間の領域を y 軸のまわりに回転させます。できる立体の体積を求めなさい。

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4π ≈ 12.5664。円筒殻法では、どの x でも 2πx · (1/x) = 2π となり、被積分関数は定数です。

$V=2\pi\int_{1}^{3}x\cdot\frac{1}{x}\,dx=4\pi\approx12{.}5664$
0 ≤ x ≤ 1 の範囲で、曲線 y = x² と x 軸の間の領域を直線 x = 2 のまわりに回転させます。できる立体の体積を求めなさい。

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5π/6 ≈ 2.618。位置 x にある円筒殻の半径は、回転軸までの距離 2 − x です。x ではありません。

$V=2\pi\int_{0}^{1}(2-x)\,x^{2}\,dx=\frac{5\pi}{6}\approx2{.}618$
0 ≤ x ≤ 1 の範囲で、曲線 y = e^−x² と x 軸の間の領域を y 軸のまわりに回転させます。できる立体の体積を求めなさい。

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π(1 − 1/e) ≈ 1.9859。円筒殻の半径に由来する因子 x があるため、∫ x e^−x² dx は初等関数で表せます。e^−x² だけでは、その原始関数は初等関数で表せません。

$V=2\pi\int_{0}^{1}x\,e^{-x^{2}}\,dx=\pi\left(1-\tfrac1e\right)\approx1{.}9859$

二通りの切り方、一つの体積

y = x²：二通りの解法を押してみてください。円筒殻法では、立体を半径 x、高さ x² をもつ円筒の入れ子に切り分け、[0, 1] の範囲で 2πx·x² を足し合わせます。円環法では軸に垂直に切り、半径 1 の円盤から半径 √y の穴をくりぬいた円環を作り、[0, 1] にわたって π(1 − y) を積分します。二つの計算は互いに一切依存していませんが、どちらも 1.5708 = π/2 を導きます。当然でしょう。同じ立体を薄片に分ける二通りの道筋にすぎず、包丁の入れ方で立体の体積が変わるはずもありません。

領域を表現しやすい方向に切る

sin x：円筒殻法の圧勝を押してみましょう。この領域は x で記述するのが容易で、0 ≤ x ≤ π に対して 0 ≤ y ≤ sin x です。円筒殻法なら 2π∫x sin x dx となり、部分積分を一度行うだけで 2π² に達します。ところが y で表そうとすると、境界は arcsin y から π − arcsin y まで動くため、円環法では π∫((π − arcsin y)² − (arcsin y)²) dy という積分の処理を迫られます。この画面はそれを計算して同じ 19.7392 を導きますが、進んで手計算したい人はいません。方針を決める前に、領域の境界線がどちらの変数で無理なく表せるかを問いかけてみてください。スライスは、そのもう一方の方向に走らせるべきなのです。

トーラスの体積は円盤の面積と中心の移動距離の積

トーラスを押してみてください。x = 2 を中心とする半径 1 の円盤が回転してドーナツ形を描き、円筒殻法によってその体積は 39.4784 = 4π² と求まります。この値は、円盤の面積 π と、中心が回転軸のまわりを一周して進む距離 2π·2 = 4π の積そのものです。アレクサンドリアのパップスは 340年頃、『数学集成』第7巻において、自身と交わらない直線のまわりを回転するあらゆる領域についてこの事実を述べました。1640年にパウル・ギュルダンが再発見して発表したため、現在では彼の名でも広く知られています。

学習の道すじ

積分の応用

参考文献 (3)

The method of cylindrical shells as the page uses it (equation 6.6, V = ∫ₐᵇ 2πx f(x) dx about the y-axis), and the section's own comparison of shells with discs and washers, the choice depending on which integral is easier: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.3, “Volumes of Revolution: Cylindrical Shells”.
Insight block 3: Theorem 6.14, Theorem of Pappus for Volume (a region turned about a line that does not meet it has volume equal to its area times the distance its centroid travels): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.6, “Moments and Centers of Mass”.
Insight block 3: the attribution, “what is now known as Guldin's theorem was proved by Pappus in Book VII of the Mathematical Collection”, the Collection “thought to have been written in around 340”, and Guldin's publication in 1640: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Pappus of Alexandria”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).

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