Funções Trigonométricas Inversas

Introduza x como decimal, fração ou com raiz: a página calcula o único ângulo no intervalo principal cujo seno, cosseno ou tangente vale x, ou explica por que razão tal ângulo não existe. Se preferir, arraste θ para ver como f⁻¹(f(θ)) se recolhe de volta ao intervalo.

Arco-seno	$\sin^{-1}x\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],\quad -1\le x\le 1$
Arco-cosseno	$\cos^{-1}x\in[0,\pi],\quad -1\le x\le 1$
Arco-tangente	$\tan^{-1}x\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),\quad x\in\mathbb{R}$
Desfazer o seno	$\begin{gathered}\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\\ \sin^{-1}(\sin\theta)=\theta\iff-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\end{gathered}$

Exemplo resolvido — Funções Trigonométricas Inversas

Valor dado	−0,5
Valor principal, em radianos	−0,5236
Em graus	−30°
cos(sin⁻¹ x), pelo triângulo	0,866

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Funções Trigonométricas Inversas

As funções trigonométricas inversas sin⁻¹ x, cos⁻¹ x e tan⁻¹ x (também escritas arcsen, arccos e arctan) devolvem o único ângulo num intervalo prefixado, o chamado valor principal, cujo seno, cosseno ou tangente vale x. O −1 indica a função inversa e não uma potência: sin⁻¹ x não é 1/sin x.

De onde vem a fórmula

O seno não é injetivo. Uma infinidade de ângulos partilha o mesmo valor de seno; assim, dizer «o ângulo cujo seno é ½» não identifica ângulo algum enquanto não se fixar uma convenção.
$\sin\tfrac{\pi}{6}=\sin\tfrac{5\pi}{6}=\sin\left(-\tfrac{7\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}$
Restringir para inverter. De −π/2 a π/2, o seno cresce de −1 a 1 e assume cada valor uma única vez, admitindo aí uma inversa. Pelo mesmo motivo, restringe-se o cosseno a 0 ≤ y ≤ π e a tangente a −π/2 < y < π/2.
$y=\sin^{-1}x\iff\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}$
A anulação só funciona num sentido. Temos sin(sin⁻¹ x) = x para qualquer x admissível, mas sin⁻¹(sin θ) só devolve θ se o próprio θ já pertencer ao intervalo. Caso contrário, devolve o ângulo desse intervalo que tem o mesmo seno.
$\sin\left(\sin^{-1}x\right)=x\quad(-1\le x\le1),\qquad\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}$
As composições resolvem-se num triângulo retângulo. Seja y = sin⁻¹ x, de modo que sin y = x. O teorema de Pitágoras fornece o outro cateto, cabendo ao intervalo ditar o respetivo sinal.
$\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}}$

Pressupõe: sin⁻¹ e cos⁻¹ admitem apenas valores com −1 ≤ x ≤ 1; tan⁻¹ aceita qualquer número real.

Problemas resolvidos na íntegra

Um seno negativo 2 passos
Determine o valor exato de sin⁻¹(−1/2).

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1. A resposta tem de pertencer ao intervalo de sin⁻¹:
  
  $-\tfrac{\pi}{2}\le\sin^{-1}x\le\tfrac{\pi}{2}$
2. Como π/6 tem seno igual a 1/2 e a função seno é ímpar, o ângulo no intervalo é −π/6:
  
  $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12\ \Rightarrow\ \sin\left(-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\tfrac12$
Resposta

sin⁻¹(−1/2) = −π/6. Os ângulos 7π/6 e 11π/6 têm o mesmo seno, mas situam-se fora do intervalo.

$\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}\approx-0{.}5236$
Um cosseno negativo 2 passos
Determine o valor exato de cos⁻¹(−√3/2).

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1. O intervalo vai de 0 a π, sendo o ângulo de referência π/6:
  
  $0\le\cos^{-1}x\le\pi,\qquad\cos\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt3}{2}$
2. Dentro do intervalo, o cosseno só é negativo para lá de π/2; logo, o ângulo pretendido é π − π/6:
  
  $\cos\left(\pi-\tfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$
Resposta

cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6.

$\cos^{-1}\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)=\tfrac{5\pi}{6}\approx2{.}618$
Uma tangente inversa 2 passos
Determine o valor exato de tan⁻¹(−√3).

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1. A função tan⁻¹ admite qualquer número real e responde estritamente entre −π/2 e π/2:
  
  $-\tfrac{\pi}{2}<\tan^{-1}x<\tfrac{\pi}{2},\qquad x\in\mathbb{R}$
2. Temos tan(π/3) = √3, e a tangente é uma função ímpar:
  
  $\tan\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3\ \Rightarrow\ \tan\left(-\tfrac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3$
Resposta

tan⁻¹(−√3) = −π/3.

$\tan^{-1}\left(-\sqrt3\right)=-\tfrac{\pi}{3}\approx-1{.}0472$
Que inversas existem 2 passos
Quais destas expressões estão definidas: sin⁻¹ 1,5, cos⁻¹(−1,2) e tan⁻¹ 1,5? Calcule as que existirem.

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1. O seno e o cosseno são coordenadas de pontos no círculo trigonométrico, pelo que sin⁻¹ e cos⁻¹ só admitem valores entre −1 e 1:
  
  $\sin^{-1}x,\ \cos^{-1}x:\ -1\le x\le1;\qquad1{.}5\notin[-1,1],\quad-1{.}2\notin[-1,1]$
2. A tangente atinge todos os valores reais, pelo que tan⁻¹ 1,5 existe. Não sendo um ângulo notável, obtém-se o valor na calculadora em radianos:
  
  $\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828\approx56{.}3099^{\circ}$
Resposta

Apenas tan⁻¹ 1,5 ≈ 0,9828, cerca de 56,3099°. As expressões sin⁻¹ 1,5 e cos⁻¹(−1,2) não estão definidas.

$\tan^{-1}1{.}5\approx0{.}9828$
Desfazer o seno fora do intervalo 2 passos
Calcule sin⁻¹(sin 5π/6).

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1. Como 5π/6 fica fora do intervalo, a resposta não pode ser 5π/6:
  
  $\tfrac{5\pi}{6}>\tfrac{\pi}{2}$
2. O ângulo π − θ tem o mesmo seno de θ, e π − 5π/6 pertence ao intervalo:
  
  $\sin\left(\pi-\tfrac{5\pi}{6}\right)=\sin\tfrac{5\pi}{6},\qquad\pi-\tfrac{5\pi}{6}=\tfrac{\pi}{6}\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]$
Resposta

sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6.

$\sin^{-1}\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right)=\tfrac{\pi}{6}$
Desfazer o cosseno fora do intervalo 2 passos
Calcule cos⁻¹(cos 4π/3).

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1. 4π/3 ultrapassa π, ficando fora do intervalo:
  
  $\tfrac{4\pi}{3}>\pi$
2. O ângulo 2π − θ tem o mesmo cosseno de θ, pois o cosseno é par com período 2π, e 2π − 4π/3 pertence ao intervalo:
  
  $\cos\left(2\pi-\tfrac{4\pi}{3}\right)=\cos\tfrac{4\pi}{3},\qquad2\pi-\tfrac{4\pi}{3}=\tfrac{2\pi}{3}\in[0,\pi]$
Resposta

cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3.

$\cos^{-1}\left(\cos\tfrac{4\pi}{3}\right)=\tfrac{2\pi}{3}$
Composição com argumento negativo 3 passos
Determine o valor exato de tan(cos⁻¹(−3/5)).

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1. Designemos o ângulo por y. Sendo o seu cosseno igual a −3/5, o intervalo coloca-o para lá de π/2:
  
  $y=\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right):\quad\cos y=-\tfrac35,\quad\tfrac{\pi}{2}<y\le\pi$
2. O seno é positivo nesse quadrante; logo, a partir de sin²y + cos²y = 1,
  
  $\sin y=+\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45$
3. e como tan y = sin y / cos y:
  
  $\tan y=\frac{4/5}{-3/5}=-\tfrac43$
Resposta

tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3.

$\tan\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=-\tfrac43\approx-1{.}3333$
Composição em termos de x 3 passos
Exprima cos(sin⁻¹ x) em termos de x e confirme o resultado em x = −3/5.

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1. Chamemos y ao ângulo. O intervalo de sin⁻¹ mantém y entre −π/2 e π/2, onde o cosseno nunca é negativo:
  
  $y=\sin^{-1}x:\quad\sin y=x,\quad-\tfrac{\pi}{2}\le y\le\tfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \cos y\ge0$
2. pelo que a raiz assume o sinal positivo:
  
  $\cos y=+\sqrt{1-\sin^{2}y}=\sqrt{1-x^{2}}$
3. Para x = −3/5:
  
  $\cos\left(\sin^{-1}\left(-\tfrac35\right)\right)=\sqrt{1-\tfrac{9}{25}}=\tfrac45$
Resposta

cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²), sem qualquer ±, para todo o x de −1 a 1.

$\cos\left(\sin^{-1}x\right)=\sqrt{1-x^{2}},\qquad-1\le x\le1$
Equação com função inversa 2 passos
Resolva cos⁻¹ x = 2π/3 e, em seguida, cos⁻¹ x = −π/3.

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1. Aplicando o cosseno a ambos os membros: como 2π/3 pertence ao intervalo, esta é a única solução:
  
  $\cos^{-1}x=\tfrac{2\pi}{3}\ \Rightarrow\ x=\cos\tfrac{2\pi}{3}=-\tfrac12$
2. O arco-cosseno nunca devolve −π/3, valor situado fora do respetivo intervalo:
  
  $-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]$
Resposta

x = −1/2 na primeira; a segunda não tem solução. De facto, cos(−π/3) = 1/2, mas cos⁻¹(1/2) vale π/3.

$x=-\tfrac12;\qquad-\tfrac{\pi}{3}\notin[0,\pi]\Rightarrow\varnothing$

Problemas suplementares, só com a resposta

Calcule tan⁻¹(tan 2π/3).

Mostrar resposta

−π/3, ou seja, 2π/3 − π.

$\tan^{-1}\left(\tan\tfrac{2\pi}{3}\right)=-\tfrac{\pi}{3}$
Calcule cos⁻¹(cos(−2π/5)).

Mostrar resposta

2π/5, dado que o cosseno é uma função par.

$\cos^{-1}\left(\cos\left(-\tfrac{2\pi}{5}\right)\right)=\tfrac{2\pi}{5}$
Calcule sin⁻¹(sin 4), com 4 em radianos.

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π − 4 ≈ −0,8584, porque 4 se situa entre π/2 e 3π/2.

$\sin^{-1}(\sin4)=\pi-4\approx-0{.}8584$
Determine o valor exato de sin(cos⁻¹(−12/13)).

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5/13: o ângulo fica para lá de π/2, onde o seno é positivo.

$\sin\left(\cos^{-1}\left(-\tfrac{12}{13}\right)\right)=\tfrac{5}{13}$
Exprima tan(sin⁻¹ x) em termos de x.

Mostrar resposta

x/√(1 − x²), para −1 < x < 1.

$\tan\left(\sin^{-1}x\right)=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}},\qquad-1<x<1$
Mostre que sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 para −1 ≤ x ≤ 1 e confirme para x = −1/2.

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Se y = sin⁻¹ x, então cos(π/2 − y) = sin y = x; como π/2 − y se situa entre 0 e π, temos π/2 − y = cos⁻¹ x.

$\sin^{-1}\left(-\tfrac12\right)+\cos^{-1}\left(-\tfrac12\right)=-\tfrac{\pi}{6}+\tfrac{2\pi}{3}=\tfrac{\pi}{2}$

sin⁻¹(sin θ) recua em metade do círculo

Prima sin⁻¹(sin 150°): a resposta é 30°. Em seguida, arraste θ de 90° até 270°. Enquanto θ cresce, sin⁻¹(sin θ) desce de 90° a −90° com um declive de exatamente −1, pois nesse troço vale 180° − θ. Como o seno atinge 1 aos 90° e inverte o sentido, a função que o desfaz tem de acompanhar essa viragem. Já o cosseno inverte aos 0° e aos 180°, pelo que entre −180° e 180° a expressão cos⁻¹(cos θ) é igual a |θ|, desenhando um V. A tangente nunca inverte o sentido: sobe em cada ramo entre assíntotas, de modo que tan⁻¹(tan θ) jamais recua. Limita-se a descer 180° de cada vez que θ ultrapassa um múltiplo ímpar de 90°. Por isso, tan⁻¹(tan 135°) vale 135° − 180° = −45°.

cos⁻¹ não pode pedir o intervalo emprestado a sin⁻¹

Entre −90° e 90°, o cosseno nunca é negativo e assume duas vezes cada valor estritamente entre 0 e 1: em θ e em −θ. Ora, uma função inversa exige precisamente o oposto em ambos os aspetos: precisa de cobrir todos os valores de −1 a 1, e cada um apenas uma vez. É por isso que cos⁻¹ responde de 0° a 180°, na metade superior do círculo, onde o cosseno decresce continuamente de 1 a −1. O preço a pagar surge nas entradas negativas. Enquanto sin⁻¹(−1/2) vale −30°, abaixo do eixo dos x, cos⁻¹(−√3/2) dá 150°: um cosseno negativo nunca conduz a um ângulo negativo, antes a um ângulo além dos 90°.

cos(sin⁻¹ x) nunca precisa de ±

Pela relação fundamental da trigonometria, a expressão √(1 − sin²θ) dava-nos apenas o módulo de cos θ, cabendo ao quadrante fornecer o sinal. Aqui, o contradomínio resolve a questão logo à partida. Como sin⁻¹ x fica compreendido entre −90° e 90°, onde o cosseno nunca é negativo, temos cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) para todo o x de −1 a 1. Em x = −3/5 o resultado é +4/5, muito embora o próprio ângulo seja negativo. O mesmo raciocínio aplica-se a sin(cos⁻¹ x), dado que o seno nunca é negativo entre 0° e 180°. A tangente ainda pode resultar negativa, uma vez que o intervalo de cos⁻¹ abrange o segundo quadrante; no entanto, a fórmula tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x transporta esse sinal no próprio x e também dispensa qualquer ±. Ao premir tan(cos⁻¹(−3/5)), obtemos o ângulo de 126,8699°, cuja tangente é −4/3.

Percurso de aprendizagem

Identidades e equações trigonométricas

Referências (1)

The domains and principal ranges of sin⁻¹, cos⁻¹ and tan⁻¹, sin⁻¹(sin x) = x only for −π/2 ≤ x ≤ π/2, the warning that sin⁻¹ x is not 1/sin x, and compositions such as cos(sin⁻¹ x) by a right triangle: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 6.3, “Inverse Trigonometric Functions”.

Pela equipa 7 Raven Room · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.

Funções Trigonométricas Inversas

De onde vem a fórmula

Problemas suplementares, só com a resposta

sin⁻¹(sin θ) recua em metade do círculo 🖖

cos⁻¹ não pode pedir o intervalo emprestado a sin⁻¹ 🖖

cos(sin⁻¹ x) nunca precisa de ± 🖖

sin⁻¹(sin θ) recua em metade do círculo

cos⁻¹ não pode pedir o intervalo emprestado a sin⁻¹

cos(sin⁻¹ x) nunca precisa de ±